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Physique quantique : Exercices et applications
où s est un indice de dégénerescence éventuelle des niveaux d’énergie. Compte
tenu de ces définitions, on peut récrire le propagateur en utilisant la relation
de fermeture des vecteurs propres de H,
n,s |ϕ ns ϕ ns | = I
K( r, , r
′ ; t)=θ(t)
n,s
m,u
r |ϕ ns ϕ ns |e
−iHt/ |ϕ mu ϕ mu | r
′
= θ(t)
ns
e
−iEnt/ ϕ ns ( r)ϕ
∗
ns ( r
′ )
(12.10)
La transformée de Fourier temporelle de (12.10) introduit une fonction intéressante, la fonction de Green G( r,, r
′ ; E). Pour calculer cette transformée de
Fourier, évaluons l’intégrale
I(E)=
+∞
−∞
dt e
iEt/ θ(t) e
−iEnt/ =
∞
0
dt e
i(E−En)t/
L’intégrand oscille à l’infini, et pour rendre l’intégrale convergente, nous remplaçons E par E + iη, η → 0
+ . Ceci équivaut à prendre la transformée de
Fourier d’une fonction θ(t) comme celle d’une distribution. Nous obtenons
pour I(E)
I(E)=
i
E − E n + iη
On vérifie aisément le résultat en calculant la transformée de Fourier inverse à
l’aide d’une intégration dans le plan complexe en E, ce qui sera fait au § 13.5.1.
Nous pouvons maintenant écrire la transformée de Fourier du propagateur
G( r, , r
′ ; E)=−
i
dt e
iEt/ K( r, , r
′ ; t)=
n,s
ϕ ns ( r)ϕ
∗
ns ( r
′ )
E − E n + iη
(12.11)
où le facteur −i/ a été introduit par convention. La transformation de Fourier
inverse est
K( r, , r
′ ; t)=i
dE
2π
e
−iEt/ G( r, , r
′ ; E)
(12.12)
La fonction G( r, , r
′ ; E) est appelée fonction de Green de l’équation de Schrödinger indépendante du temps, car elle vérifie
(E − H)G( r,, r
′ ; E)=δ( r − r
′ )
(12.13)
qui n’est autre que la transformée de Fourier temporelle de (12.6). Pour justifier directement (12.13), on utilise (12.11)
G( r, , r
′ ; E)=
n,s
r |ϕ ns
1
E − E n + iη
ϕ ns | r
′ = r |
1
E − H + iη
| r
′
ce qui montre que G( r, , r
′ ; E) est l’élément de matrice r |G(E)| r
′ de l’opérateur G(E)
G(E)=
1
E − H + iη
(12.14)