12. Méthodes semi-classiques
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le propagateur K s’écrit aussi
K( r, t| r
′ ,t
′ ) ≡ r, t| r
′ ,t
′ θ(t − t
′ )
(12.5)
Cette notation est fréquemment utilisée de façon conventionnelle même
lorsque H dépend du temps.
Compte tenu de la définition (12.3) et de l’identité
d
dt
θ(t − t
′ )=δ(t − t
′ )
on peut calculer la dérivée par rapport au temps de K
i∂ t K = HK + i r |U (t, t
′ )| r
′ δ(t − t
′ )
Comme U (t, t)=I, on en déduit que le propagateur K vérifie l’équation
différentielle inhomogène
[i∂ t − H(t)]K( r, t| r
′ ,t
′ )=i δ( r − r
′ ) δ(t − t
′ )
(12.6)
où H(t) est écrit en représentation r. Cette équation ne spécifie pas le propagateur de façon unique, puisque l’on peut toujours ajouter à une solution de
(12.6) une solution de l’équation homogène correspondante. Ainsi que nous
l’avons déjà noté, c’est la fonction θ(t − t
′ ) dans (12.3) qui fixe la solution de
façon unique et définit le propagateur retardé.
Utilisant la propriété de groupe (4.15) de l’opérateur d’évolution et la
relation de fermeture
d
3 r 1 | r 1 r 1 | = I écrite pour un temps t
′ on déduit l’équation suivante, qui est l’analogue de l’équation de ChapmanKolmogorov (12.28) valable pour les probabilités conditionnelles des processus
markoviens
K( r, t| r
′ ,t
′ )=
d
3 r 1 K( r, t| r 1 ,t 1 )K( r 1 ,t 1 | r
′ ,t
′ )
(12.7)
12.1.2 Fonctions de Green
Nous allons maintenant nous restreindre au cas où le hamiltonien est indépendant du temps et où l’opérateur d’évolution dépend seulement de la
différence (t − t
′ )
U (t, t
′ )=exp
− iH(t − t
′ )/
Il sera commode de choisir t
′ =0et de récrire le propagateur sous la forme
K( r, t| r
′ ,t
′ =0)=K( r, , r
′ ; t)= r | exp[−iHt/]| r
′
(12.8)
Soit {ϕ ns ( r)= r |ϕ ns } un système complet de fonctions propres du hamiltonien H d’énergie E n
Hϕ ns ( r)=E n ϕ ns ( r)
(12.9)