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Physique quantique : Exercices et applications
possible de celle de la mécanique statistique classique. Nous verrons qu’un tel
objectif n’est pas facile à atteindre, mais qu’une pseudo-densité de probabilité
due à Wigner présente néanmoins des caractéristiques intéressantes. Le lien
de la section 12.6 : théorème adiabatique et phases géométriques, avec les
sections précédentes est assez ténu. Toutefois, ce lien sera fait grâce à l’effet
Aharonov-Bohm.
12.1 Propagateurs et fonctions de Green
12.1.1 Propagateur de l’équation de Schrödinger
Notre objectif est de décrire l’évolution au cours du temps d’un système
quantique de N particules dont la fonction d’onde est connue au temps t
′ .
Soit U (t, t
′ ) l’opérateur d’évolution (4.14) de ce système, qui vérifie l’équation
différentielle (4.17)
i∂ t − H(t)
U (t, t
′ )=0
(12.1)
et ϕ( r 1 ,, r 2 ,...,, r N ; t) ≡ r|ϕ(t) = ϕ( r, t) sa fonction d’onde. On peut l’écrire
e nt e r m ed el af o n c t i o nd ’ o n d ea ut e m p st
′ , ϕ( r, t
′ ),g r â c eàl ar e l a t i o nd e
fermeture
d
3 r
′ | r
′ r
′ | = I
r |ϕ(t) =
d
3 r
′ r |U (t, t
′ )| r
′ r
′ |ϕ(t
′ ) =
d
3 r
′ r |U (t, t
′ )| r
′ ϕ( r
′ ,t
′ )
(12.2)
avec d
3 r = d
3 r 1 d
3 r 2 ...d
3 r N . L’équation (12.2) met en évidence le propagateur K( r, t| r
′ ,t
′ )
K( r, t| r
′ ,t
′ ):= r |U (t, t
′ )| r
′ θ(t − t
′ )
(12.3)
La fonction de Heaviside θ(t − t
′ ) (θ(t)=0si t<0, θ(t)=1si t>0) assure
que la propagation se fait uniquement vers le futur, alors que l’ordre des temps
t et t
′ est quelconque dans U (t, t
′ ) : l’équation (12.3) définit le propagateur
retardé, mais il existe d’autres types de propagateur, qui sont étudiés dans
l’exercice 12.7.4. La propriété U (t, t)=I implique la condition aux limites
suivante pour K
lim
t→t ′ +
K( r, t| r
′ ,t
′ )=δ( r − r
′ )
(12.4)
La définition (12.3) montre que le propagateur est l’amplitude de probabilité pour trouver le système au point r au temps t sachant qu’il était en r
′
au temps t
′ . Ceci rappelle la définition d’une probabilité conditionnelle (voir
§ 12.2.1), d’où le choix de la notation K(•|•) : le propagateur est une sorte
d’amplitude de probabilité de présence conditionnelle. Lorsque H est indépendant du temps, U (t, t
′ )=exp[−iH(t − t
′ )/], et définissant | r, t et | r
′ ,t
′
par
| r, t = e
iHt/ | r| r
′ ,t
′ = e
iHt
′ / | r
′
Physique quantique : Exercices et applications
possible de celle de la mécanique statistique classique. Nous verrons qu’un tel
objectif n’est pas facile à atteindre, mais qu’une pseudo-densité de probabilité
due à Wigner présente néanmoins des caractéristiques intéressantes. Le lien
de la section 12.6 : théorème adiabatique et phases géométriques, avec les
sections précédentes est assez ténu. Toutefois, ce lien sera fait grâce à l’effet
Aharonov-Bohm.
12.1 Propagateurs et fonctions de Green
12.1.1 Propagateur de l’équation de Schrödinger
Notre objectif est de décrire l’évolution au cours du temps d’un système
quantique de N particules dont la fonction d’onde est connue au temps t
′ .
Soit U (t, t
′ ) l’opérateur d’évolution (4.14) de ce système, qui vérifie l’équation
différentielle (4.17)
i∂ t − H(t)
U (t, t
′ )=0
(12.1)
et ϕ( r 1 ,, r 2 ,...,, r N ; t) ≡ r|ϕ(t) = ϕ( r, t) sa fonction d’onde. On peut l’écrire
e nt e r m ed el af o n c t i o nd ’ o n d ea ut e m p st
′ , ϕ( r, t
′ ),g r â c eàl ar e l a t i o nd e
fermeture
d
3 r
′ | r
′ r
′ | = I
r |ϕ(t) =
d
3 r
′ r |U (t, t
′ )| r
′ r
′ |ϕ(t
′ ) =
d
3 r
′ r |U (t, t
′ )| r
′ ϕ( r
′ ,t
′ )
(12.2)
avec d
3 r = d
3 r 1 d
3 r 2 ...d
3 r N . L’équation (12.2) met en évidence le propagateur K( r, t| r
′ ,t
′ )
K( r, t| r
′ ,t
′ ):= r |U (t, t
′ )| r
′ θ(t − t
′ )
(12.3)
La fonction de Heaviside θ(t − t
′ ) (θ(t)=0si t<0, θ(t)=1si t>0) assure
que la propagation se fait uniquement vers le futur, alors que l’ordre des temps
t et t
′ est quelconque dans U (t, t
′ ) : l’équation (12.3) définit le propagateur
retardé, mais il existe d’autres types de propagateur, qui sont étudiés dans
l’exercice 12.7.4. La propriété U (t, t)=I implique la condition aux limites
suivante pour K
lim
t→t ′ +
K( r, t| r
′ ,t
′ )=δ( r − r
′ )
(12.4)
La définition (12.3) montre que le propagateur est l’amplitude de probabilité pour trouver le système au point r au temps t sachant qu’il était en r
′
au temps t
′ . Ceci rappelle la définition d’une probabilité conditionnelle (voir
§ 12.2.1), d’où le choix de la notation K(•|•) : le propagateur est une sorte
d’amplitude de probabilité de présence conditionnelle. Lorsque H est indépendant du temps, U (t, t
′ )=exp[−iH(t − t
′ )/], et définissant | r, t et | r
′ ,t
′
par
| r, t = e
iHt/ | r| r
′ ,t
′ = e
iHt
′ / | r
′