12. Méthodes semi-classiques
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si le hamiltonien classique est de type chaotique. Un exemple standard est
celui du mouvement de rotation chaotique du satellite de Saturne, Hypérion
(Zurek [2003]), qui apparaît classique en raison, en particulier, de son interaction avec le rayonnement solaire.
Dans ce chapitre, nous allons négliger l’environnement en supposant les
sytèmes parfaitement isolés, et étudier dans ce cadre la limite → 0.E nf a i t ,
dans cette optique, la question centrale est la suivante : quelle est l’empreinte
laissée sur le problème quantique, et en particulier sur son spectre de niveaux,
par les propriétés du problème classique associé ? La réponse à cette question complexe constitue toujours aujourd’hui un domaine de recherches très
actif. Un des problèmes est de comprendre les relations entre les propriétés
chaotiques d’un mouvement classique et le spectre de niveaux du problème
quantique correspondant. Nous n’aborderons pas ce sujet en raison de sa trop
grande technicité ; nous renvoyons le lecteur aux livres cités dans la bibliographie, et nous nous limiterons à des sujets plus élémentaires.
Ce chapitre a pour objectif de montrer que l’on peut recourir dans certains cas à des concepts classiques comme celui de trajectoire ou d’espace
de phase pour obtenir des résultats approchés à la limite → 0 :l e sm é -
thodes d’approximation correspondantes sont appelées semi-classiques.L e s
trois premières sections sont consacrées à l’intégrale de Feynman, ou intégrale de chemin et à quelques unes de ses applications. L’intégrale de Feynman permet d’écrire des amplitudes de probabilité comme une somme sur
des trajectoires, ou chemins. Cette formulation est exacte
4 , équivalente au
formalisme de l’espace de Hilbert. C’est une formulation alternative de la
mécanique quantique, qui n’introduit que des fonctions à valeurs numériques
et se passe complètement des opérateurs. L’intégrale de chemin présente un
intérêt considérable pour traiter de problèmes formels : théorie des perturbations, relations entre mécanique quantique et mécanique statistique, théorie
quantique des champs..., mais elle est peu performante pour la résolution de
problèmes concrets standard comme le calcul du spectre de l’oscillateur harmonique ou de l’atome d’hydrogène. En revanche, elle est d’un grand intérêt
comme point de départ d’une série d’approximations semi-classiques fondées
sur l’approximation de la phase stationnaire. Toutefois, les calculs correspondants sont complexes, et les méthodes semi-classiques fondées sur l’intégrale
de chemin sortent du cadre de ce livre ; nous renvoyons donc le lecteur aux
références données en fin de chapitre.
La section 12.4 est consacrée à une méthode datant des débuts de la mécanique quantique, la méthode BKW. Elle permet, entre autres, de donner une
expression approchée des niveaux d’énergie et des fonctions d’onde des états
liés dans un puits de potentiel et de calculer la probabilité de transmission à
travers une barrière de potentiel. Dans la section 12.5, nous nous plaçons dans
l’espace de phase (q, p) de la mécanique analytique. L’objectif est d’essayer de
définir une densité de probabilité dans l’espace de phase qui soit la plus proche
4. Dans la limite de nos connaissances actuelles !
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si le hamiltonien classique est de type chaotique. Un exemple standard est
celui du mouvement de rotation chaotique du satellite de Saturne, Hypérion
(Zurek [2003]), qui apparaît classique en raison, en particulier, de son interaction avec le rayonnement solaire.
Dans ce chapitre, nous allons négliger l’environnement en supposant les
sytèmes parfaitement isolés, et étudier dans ce cadre la limite → 0.E nf a i t ,
dans cette optique, la question centrale est la suivante : quelle est l’empreinte
laissée sur le problème quantique, et en particulier sur son spectre de niveaux,
par les propriétés du problème classique associé ? La réponse à cette question complexe constitue toujours aujourd’hui un domaine de recherches très
actif. Un des problèmes est de comprendre les relations entre les propriétés
chaotiques d’un mouvement classique et le spectre de niveaux du problème
quantique correspondant. Nous n’aborderons pas ce sujet en raison de sa trop
grande technicité ; nous renvoyons le lecteur aux livres cités dans la bibliographie, et nous nous limiterons à des sujets plus élémentaires.
Ce chapitre a pour objectif de montrer que l’on peut recourir dans certains cas à des concepts classiques comme celui de trajectoire ou d’espace
de phase pour obtenir des résultats approchés à la limite → 0 :l e sm é -
thodes d’approximation correspondantes sont appelées semi-classiques.L e s
trois premières sections sont consacrées à l’intégrale de Feynman, ou intégrale de chemin et à quelques unes de ses applications. L’intégrale de Feynman permet d’écrire des amplitudes de probabilité comme une somme sur
des trajectoires, ou chemins. Cette formulation est exacte
4 , équivalente au
formalisme de l’espace de Hilbert. C’est une formulation alternative de la
mécanique quantique, qui n’introduit que des fonctions à valeurs numériques
et se passe complètement des opérateurs. L’intégrale de chemin présente un
intérêt considérable pour traiter de problèmes formels : théorie des perturbations, relations entre mécanique quantique et mécanique statistique, théorie
quantique des champs..., mais elle est peu performante pour la résolution de
problèmes concrets standard comme le calcul du spectre de l’oscillateur harmonique ou de l’atome d’hydrogène. En revanche, elle est d’un grand intérêt
comme point de départ d’une série d’approximations semi-classiques fondées
sur l’approximation de la phase stationnaire. Toutefois, les calculs correspondants sont complexes, et les méthodes semi-classiques fondées sur l’intégrale
de chemin sortent du cadre de ce livre ; nous renvoyons donc le lecteur aux
références données en fin de chapitre.
La section 12.4 est consacrée à une méthode datant des débuts de la mécanique quantique, la méthode BKW. Elle permet, entre autres, de donner une
expression approchée des niveaux d’énergie et des fonctions d’onde des états
liés dans un puits de potentiel et de calculer la probabilité de transmission à
travers une barrière de potentiel. Dans la section 12.5, nous nous plaçons dans
l’espace de phase (q, p) de la mécanique analytique. L’objectif est d’essayer de
définir une densité de probabilité dans l’espace de phase qui soit la plus proche
4. Dans la limite de nos connaissances actuelles !