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Physique quantique : Exercices et applications
spin 1/2 est soumis à un champ magnétique fluctuant
B 0 (t). Le vecteur d’état
du spin est au temps t
|Ψ(t) = λ(t)|0 + µ(t)|1
avec λ(t) et µ(t) donnés par
i ˙
λ(t)=−
1
2
ω 0 (t)λ(t)
i ˙
µ(t)=
1
2
ω 0 (t)µ(t)
λ(0) = λ 0 ,µ (0) = µ 0
La solution est
λ(t)=λ 0 exp
i
2
t
0
ω 0 (t
′ )dt
′
µ(t)=µ 0 exp
−
i
2
t
0
ω 0 (t
′ )dt
′
On suppose que ω 0 (t) est une fonction aléatoire gaussienne dont la fonction
d’autocorrélation connexe est
C(t
′ )=ω 0 (t + t
′ )ω 0 (t)−−ω 0
2
où •• est une moyenne d’ensemble sur toutes les réalisations de la fonction
aléatoire. Supposant aussi que
C(t
′ ) ≃ C exp
−
|t
′ |
τ
montrer que les populations ρ 0 et ρ 11 sont indépendantes du temps, mais que
les cohérences sont données par
ρ 01 (t)=ρ 01 (t =0)e
iω0t e
−Cτt ,t ≫ τ.
18.4.10 Un autre choix pour la fonction spectrale J (ω)
Au lieu de (18.84), on utilise un autre choix de fonction spectrale J(ω),
às a v o i r
J(ω)=Mγω
ω
2
∗
ω 2 + ω 2
∗
Montrer que la partie réelle C(t) de la fonction d’autocorrélation est
C(t)=k B TMγω ∗ e
−ω∗|t|
Montrer que toutes les étapes conduisant à (18.96) restent valables avec cette
nouvelle fonction spectrale.
18.4.11 L’équation de Fokker-Planck-Kramers pour une
particule brownienne
1. Déduire de (18.96) l’équation aux dérivées partielles (Fokker-PlanckKramers) pour la distribution de Wigner (12.116) w(x, p; t) :
∂w
∂t
+
p
M
∂w
∂x
= γ
∂
∂p
[pw]+D
∂
2 w
∂p 2