18. Systèmes quantiques ouverts
805
Les opérateurs A α (ω) sont les “opérateurs propres” de H A . Le commutateur
ci-dessus généralise
−
1
2
ωσ 3 ,σ ±
= ∓ωσ ± ou [ωa
† a, a]=−ωa
2. On généralise (18.66) en écrivant
G
αβ
+ (ω)=
∞
0
dt
′ Tr [R α (t)R β (t − t
′ )ρ R (0)] e
iωt
′
Montrer que l’équation d’évolution de ˜
ρ est
d˜ ρ
dt
=
ω,ω ′
α,β
e
i(ω
′
−ω)t G
αβ
+ (ω)
A β (ω)˜ ρ(t)A
†
α (ω
′ ) − A
†
α (ω
′ )A β (ω)˜ ρ(t)
+h.c.
L’approximation séculaire consiste à omettre tous les termes tels que ω = ω
′ .
3. Une fois faite l’approximation séculaire, montrer que les populations
ρ nn (t)=p(n, t) vérifient l’équation de Pauli à condition que le spectre de H A
soit non dégénéré
d
dt
p(n, t)=
m
[W (n|m)p(m, t) − W (m|n)p(n, t)]
Donner l’expression des coefficients W (m|n).
18.4.9 Modèles simples de relaxation
1. Dans le premier modèle, un atome à deux niveaux A est préparé dans
une superposition des états fondamental |0 A et excité |1 A au temps t =0 .
Le champ électromagnétique est supposé dans son état fondamental (le vide)
|0 E , de sorte que le vecteur d’état initial est
|Ψ(t =0) =(λ|0 A + µ|1 A ) ⊗|0 E ,
|λ|
2 + |µ|
2 =1
Guidés par la méthode de Wigner–Weisskopf (Appendice B), nous écrivons le
vecteur d’état au temps t comme
|Ψ(t) = λ|0 A ⊗ 0 E + αµ|0 A ⊗ 1 E + µ e
−(iω0+Γ/2)t |1 A ⊗ 0 E
où |1 A est un état à un photon normalisé. Utiliser la conservation de la norme
||Ψ(t)||
2 =1pour calculer α et déduire de ce calcul les élements de matrice de
l’opérateur statistique au temps t. Comparer avec les modèles d’amortissement
de la section 18.2 et trouver les opérateurs de Kraus. Montrer que T 2 =2T 1 .
2. Dans le second modèle, l’état |1 est supposé stable, mais la fréquence
de résonance dépend du temps. Ceci sera le cas par exemple en RMN, où un
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Les opérateurs A α (ω) sont les “opérateurs propres” de H A . Le commutateur
ci-dessus généralise
−
1
2
ωσ 3 ,σ ±
= ∓ωσ ± ou [ωa
† a, a]=−ωa
2. On généralise (18.66) en écrivant
G
αβ
+ (ω)=
∞
0
dt
′ Tr [R α (t)R β (t − t
′ )ρ R (0)] e
iωt
′
Montrer que l’équation d’évolution de ˜
ρ est
d˜ ρ
dt
=
ω,ω ′
α,β
e
i(ω
′
−ω)t G
αβ
+ (ω)
A β (ω)˜ ρ(t)A
†
α (ω
′ ) − A
†
α (ω
′ )A β (ω)˜ ρ(t)
+h.c.
L’approximation séculaire consiste à omettre tous les termes tels que ω = ω
′ .
3. Une fois faite l’approximation séculaire, montrer que les populations
ρ nn (t)=p(n, t) vérifient l’équation de Pauli à condition que le spectre de H A
soit non dégénéré
d
dt
p(n, t)=
m
[W (n|m)p(m, t) − W (m|n)p(n, t)]
Donner l’expression des coefficients W (m|n).
18.4.9 Modèles simples de relaxation
1. Dans le premier modèle, un atome à deux niveaux A est préparé dans
une superposition des états fondamental |0 A et excité |1 A au temps t =0 .
Le champ électromagnétique est supposé dans son état fondamental (le vide)
|0 E , de sorte que le vecteur d’état initial est
|Ψ(t =0) =(λ|0 A + µ|1 A ) ⊗|0 E ,
|λ|
2 + |µ|
2 =1
Guidés par la méthode de Wigner–Weisskopf (Appendice B), nous écrivons le
vecteur d’état au temps t comme
|Ψ(t) = λ|0 A ⊗ 0 E + αµ|0 A ⊗ 1 E + µ e
−(iω0+Γ/2)t |1 A ⊗ 0 E
où |1 A est un état à un photon normalisé. Utiliser la conservation de la norme
||Ψ(t)||
2 =1pour calculer α et déduire de ce calcul les élements de matrice de
l’opérateur statistique au temps t. Comparer avec les modèles d’amortissement
de la section 18.2 et trouver les opérateurs de Kraus. Montrer que T 2 =2T 1 .
2. Dans le second modèle, l’état |1 est supposé stable, mais la fréquence
de résonance dépend du temps. Ceci sera le cas par exemple en RMN, où un