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Physique quantique : Exercices et applications
18.4.7 Dissipation dans un système à deux niveaux
1. Partant de (18.68), déduire les équations d’évolution pour les éléments
de matrice de l’opérateur statistique ρ :
dρ 00
dt
=
G + + G
∗
+
ρ 11 −
G − + G
∗
−
ρ 00
dρ 01
dt
= iω 0 ρ 01 −
G
∗
+ + G −
ρ 01 +
G + + G
∗
−
ρ 10
La dernière ligne de (18.68) ne contribue donc pas à l’évolution des populations.
2. Montrer qu’à l’approximation séculaire, on peut négliger le terme
G + +
G
∗
−
ρ 10 dans l’évolution de ρ 01 . Dans le cadre de cette approximation, récrire
les équations d’évolution en terme de Γ ± and ∆ ± (18.71)–(18.72). Vérifier que
le taux de relaxation est Γ=Γ + +Γ − pour les populations et Γ/2 pour les
cohérences.
3. À partir des expressions de Γ + et Γ − , montrer qu’à l’équilibre les populations des niveaux |0 et |1 sont
p 0 =
Γ −
Γ
p 1 =
Γ +
Γ
et que leur rapport est donné par la loi de Boltzmann
p 1
p 0
=exp
−
ω 0
k B T
18.4.8 Approximation séculaire et équation de Lindblad
1. On écrit l’interaction système-réservoir (18.47) sous la forme générale
19
W =
α
A α ⊗ R α
Partons de la représentation spectrale de H A
H A =
ε
ε P(ε)
où P(ε) est le projecteur sur le sous-espace de la valeur propre ε pour définir
l’opérateur A α (ω) par
A α (ω)=
ε ′ −ε=ω
P(ε)A α P(ε
′ )
Montrer que
[H A ,A α (ω)] = −ωA α (ω)
19. Breuer et Petruccione [2002], chapitre 3.
Physique quantique : Exercices et applications
18.4.7 Dissipation dans un système à deux niveaux
1. Partant de (18.68), déduire les équations d’évolution pour les éléments
de matrice de l’opérateur statistique ρ :
dρ 00
dt
=
G + + G
∗
+
ρ 11 −
G − + G
∗
−
ρ 00
dρ 01
dt
= iω 0 ρ 01 −
G
∗
+ + G −
ρ 01 +
G + + G
∗
−
ρ 10
La dernière ligne de (18.68) ne contribue donc pas à l’évolution des populations.
2. Montrer qu’à l’approximation séculaire, on peut négliger le terme
G + +
G
∗
−
ρ 10 dans l’évolution de ρ 01 . Dans le cadre de cette approximation, récrire
les équations d’évolution en terme de Γ ± and ∆ ± (18.71)–(18.72). Vérifier que
le taux de relaxation est Γ=Γ + +Γ − pour les populations et Γ/2 pour les
cohérences.
3. À partir des expressions de Γ + et Γ − , montrer qu’à l’équilibre les populations des niveaux |0 et |1 sont
p 0 =
Γ −
Γ
p 1 =
Γ +
Γ
et que leur rapport est donné par la loi de Boltzmann
p 1
p 0
=exp
−
ω 0
k B T
18.4.8 Approximation séculaire et équation de Lindblad
1. On écrit l’interaction système-réservoir (18.47) sous la forme générale
19
W =
α
A α ⊗ R α
Partons de la représentation spectrale de H A
H A =
ε
ε P(ε)
où P(ε) est le projecteur sur le sous-espace de la valeur propre ε pour définir
l’opérateur A α (ω) par
A α (ω)=
ε ′ −ε=ω
P(ε)A α P(ε
′ )
Montrer que
[H A ,A α (ω)] = −ωA α (ω)
19. Breuer et Petruccione [2002], chapitre 3.