18. Systèmes quantiques ouverts
803
Montrer que dans ce cas
C 0 =exp(λz
∗ − λ
∗ z),
et que cet état est devenu au temps t l’état cohérent |z(t) avec
z(t)=z e
−iω0t e
−Γt/2 .
En conséquence, un état cohérent reste un état cohérent quand Γ =0(comparer avec (10.38)), mais |z(t)|→0 pour t ≫ 1/Γ. Dans le plan complexe,
z(t) décroît en spirale vers l’origine. Comme Γ ≪ ω 0 , on observe un grand
nombre de tours autour de l’origine.
5. Considérons maintenant une superposition de deux états cohérents à
t =0:
|Φ = c 1 |z 1 + c 2 |z 2
Montrer qu’à t =0
C 12 (t =0)=T r
|z 1 z 2 |e
λa
†
e
−λ
∗ a
= z 2 |z 1 e
λz
∗
2 e
−λ
∗ z1
Quelle est l’interprétation de C 12 (t) ? Définissons
η(t)=
z 2 |z 1
z 2 (t)|z 1 (t)
et écrivons C 12 (t) sous la forme
C 12 (t)=η(t)z 2 (t)|z 1 (t) e
λz
∗
2 (t) e
−λ
∗ z1(t)
Montrer que
|η(t)| =exp
−
1
2
|z 1 − z 2 |
2
1 − e
−γt
≃ exp
−
Γ
2
|z 1 − z 2 |
2
où la dernière expression est valable pour Γt ≪ 1. Le temps de décohérence
est donc
τ dec =
2
Γ|z 1 − z 2 | 2
6. Choisissons z 1 =0(état fondamental de l’oscillateur) et z 2 = z.D’après
la question 1, le temps moyen pour l’émission d’un photon est ∼ (Γ|z 2 |
2 )
−1 .À
partir de la trace sur l’environnement (ici le champ de rayonnement), justifier
le fait que la cohérence entre les composantes z 1 =0et z de |Φ est perdue
après l’émission spontanée d’un seul photon.
803
Montrer que dans ce cas
C 0 =exp(λz
∗ − λ
∗ z),
et que cet état est devenu au temps t l’état cohérent |z(t) avec
z(t)=z e
−iω0t e
−Γt/2 .
En conséquence, un état cohérent reste un état cohérent quand Γ =0(comparer avec (10.38)), mais |z(t)|→0 pour t ≫ 1/Γ. Dans le plan complexe,
z(t) décroît en spirale vers l’origine. Comme Γ ≪ ω 0 , on observe un grand
nombre de tours autour de l’origine.
5. Considérons maintenant une superposition de deux états cohérents à
t =0:
|Φ = c 1 |z 1 + c 2 |z 2
Montrer qu’à t =0
C 12 (t =0)=T r
|z 1 z 2 |e
λa
†
e
−λ
∗ a
= z 2 |z 1 e
λz
∗
2 e
−λ
∗ z1
Quelle est l’interprétation de C 12 (t) ? Définissons
η(t)=
z 2 |z 1
z 2 (t)|z 1 (t)
et écrivons C 12 (t) sous la forme
C 12 (t)=η(t)z 2 (t)|z 1 (t) e
λz
∗
2 (t) e
−λ
∗ z1(t)
Montrer que
|η(t)| =exp
−
1
2
|z 1 − z 2 |
2
1 − e
−γt
≃ exp
−
Γ
2
|z 1 − z 2 |
2
où la dernière expression est valable pour Γt ≪ 1. Le temps de décohérence
est donc
τ dec =
2
Γ|z 1 − z 2 | 2
6. Choisissons z 1 =0(état fondamental de l’oscillateur) et z 2 = z.D’après
la question 1, le temps moyen pour l’émission d’un photon est ∼ (Γ|z 2 |
2 )
−1 .À
partir de la trace sur l’environnement (ici le champ de rayonnement), justifier
le fait que la cohérence entre les composantes z 1 =0et z de |Φ est perdue
après l’émission spontanée d’un seul photon.