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Physique quantique : Exercices et applications
18.4.6 Superposition d’états cohérents
Nous nous proposons d’étudier la décohérence d’une superposition de deux
états cohérents dans le modèle d’oscillateur harmonique amorti du § 17.2.3.
L’évolution temporelle de l’opérateur statistique est donné par (18.36) :
dρ
dt
= −
i
[H 0 ,ρ]+
1
2
Γ
2aρa
† −{a
† a, ρ}
Dans cet exercice, il est instructif de conserver la partie H 0 de l’évolution.
1. Considérons deux états propres |n du hamiltonien libre H 0 = ω 0 a
† a,
et soit ρ nm , les éléments de matrice n|ρ|m de ρ. Montrer que les éléments
de matrice diagonaux ρ nn obéissent à
dρ nn
dt
= −nΓρ nn +(n +1)Γρ n+1,n+1
Donner l’interprétation physique des deux termes de cette équation. Donner
des arguments permettant d’interpréter Γ comme le taux d’émission d’un
photon (ou d’un phonon). Quelle est l’équation d’évolution des cohérences
ρ n+1,n ?
2. Introduisons la fonction C(λ, λ
∗ ; t) par
C(λ, λ
∗ ; t)=T r
ρ e
λa
†
e
−λ
∗ a
Montrer que les dérivées partielles par rapport à λ ont l’effet suivant à l’intérieur de la trace
∂
∂λ
→ ρa
† ,
∂
∂λ
− λ
∗
→ a
† ρ
Suggestion : utiliser l’identité (2.72) pour commuter exp(λa
† ) et exp(−λ
∗ a).
Quelles sont les identités correspondantes pour ∂/∂λ
∗ ?
3. Montrer que C(λ, λ
∗ ; t) obéit à l’équation aux dérivées partielles
∂
∂t
+
Γ
2
− iω 0
∂
∂ ln λ
+
Γ
2
+ iω 0
∂
∂ ln λ ∗
C(λ, λ
∗ ; t)=0
Cette équation se résout par la méthode des caractéristiques. La solution est
(à démontrer ou à vérifier)
C(λ, λ
∗ ; t)=C 0
λ exp[−(Γ/2 − iω 0 )t],λ
∗ exp[−(Γ/2+iω 0 )t]
avec
C(λ, λ
∗ ; t =0)=C 0 (λ, λ
∗ )
4. Supposons que l’état initial à t =0soit un état cohérent |z
|z = e
−|z|
2 /2 e
za
† |0