18. Systèmes quantiques ouverts
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18.4.4 Amortissements de phase et d’amplitude
1. Examinons le modèle suivant d’amortissement simultané de phase et
d’amplitude pour un système à deux niveaux. Les trois opérateurs de Kraus
sont donnés par
M 0 =
10
0
√
1 − λ − γ
M 1 =
0
√ γ
00
M 2 =
00
0
√
λ
Vérifier que
2
µ=0
M
†
µ M µ = I
Quelles sont les restrictions sur λ et γ ?
2. Montrer que l’opérateur statistique transformé K[ρ] est
ρ 00 + γρ 11 ρ 01
√
1 − λ − γ
ρ 10
√
1 − λ − γρ 11 (1 − γ)
3. Quel est le résultat après n itérations de l’opérateur de Kraus ? Posant
γ =
Γt
n
,λ =
Λt
n
,n ≫ 1
montrer que
ρ(t)=
1 − ρ 11 e
−Γt ρ 01 e
−(Λ+Γ)t/2
ρ 10 e
−(Λ+Γ)t/2
ρ 11 e
−Γt
Quels sont les temps de relaxation T 1 and T 2 ? Vérifier que T 2 ≤ 2T 1 .
18.4.5 Détails de la preuve de l’équation pilote
1. Vérifier que si ρ AR (0) = ρ A (0) ⊗ ρ R (0),a l o r s
Tr R
W (t),ρ AR (0
=
A(t),ρ A (0)]Tr (R(t)ρ R (0)) = 0.
2. Compléter les détails du calcul conduisant à (18.62). Suggestion
g(t − t
′ )=T r[R(t)R(t
′ )ρ R (0)] = Tr [R(t
′ )ρ R (0)R(t)]
Pour le passage du point de vue de l’interaction à celui de Schrödinger, utiliser
dρ
dt
= −
i
[H A ,ρ]+e
iHAt/ d˜ ρ
dt
e
−iHAt/