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Physique quantique : Exercices et applications
Si l’on définit N = Nρ
′
AB , montrer que l’application de N sur un vecteur
|ϕ A ⊗ ψ B ap o u rr é s u l t a t
N|ϕ A ⊗ ψ B = |ψ A ⊗ ϕ B
Montrer que N
2 =1 . Écrire la forme explicite de N dans le cas d =2:l a
matrice correspondante est appelée “matrice SWAP”. Montrer, d’abord dans
le cas d =2et ensuite dans le cas général, que N doit avoir des valeurs propres
négatives.
18.4.2 Représentation de Kraus pour le modèle
d’émission spontanée
1. On reprend le modèle pour l’émission spontanée du § 11.4.3, la loi pour
les sauts quantiques étant
U AE |0 A ⊗ 0 E = |0 A ⊗ 0 E ,
U AE |1 A ⊗ 0 E =
1 − p |1 A ⊗ 0 E +
√
p |0 A ⊗ 1 E
Écrire les opérateurs de Kraus M 0 et M 1 , en déduire K(ρ) et retrouver la loi
d’évolution (11.87) pour les populations et les cohérences.
2. Partant de (18.15), utiliser la méthode du § 11.4.3 pour obtenir directement K(ρ).
18.4.3 Modèle de dépolarisation
Dans cet exercice, H E est de dimension 4 et une base orthonormée est
formée par un état de référence |0 E et trois états |i E , i =1 , 2, 3 ; H A est
de dimension 2. La loi pour les sauts quantiques est définie par
U AE |ϕ A ⊗ 0 E =
1 − p |ϕ A ⊗ 0 E +
p
3
3
i=1
(σ iA ⊗ I E )|ϕ A ⊗ i E
Montrer que les opérateurs de Kraus sont
M 0 =
1 − p I,
M i =
p
3
σ i
Vérifier
µ M
†
µ M µ = I et calculer K(ρ). Montrer que l’évolution peut s’écrire
en fonction du vecteur de Bloch : si
ρ =
1
2
I + σ · b
alors
K(ρ)=
1
2
I + σ · b
′
b
′ =
1 −
4p
3
b
Pourquoi peut-on parler de modèle pour la dépolarisation ?
Physique quantique : Exercices et applications
Si l’on définit N = Nρ
′
AB , montrer que l’application de N sur un vecteur
|ϕ A ⊗ ψ B ap o u rr é s u l t a t
N|ϕ A ⊗ ψ B = |ψ A ⊗ ϕ B
Montrer que N
2 =1 . Écrire la forme explicite de N dans le cas d =2:l a
matrice correspondante est appelée “matrice SWAP”. Montrer, d’abord dans
le cas d =2et ensuite dans le cas général, que N doit avoir des valeurs propres
négatives.
18.4.2 Représentation de Kraus pour le modèle
d’émission spontanée
1. On reprend le modèle pour l’émission spontanée du § 11.4.3, la loi pour
les sauts quantiques étant
U AE |0 A ⊗ 0 E = |0 A ⊗ 0 E ,
U AE |1 A ⊗ 0 E =
1 − p |1 A ⊗ 0 E +
√
p |0 A ⊗ 1 E
Écrire les opérateurs de Kraus M 0 et M 1 , en déduire K(ρ) et retrouver la loi
d’évolution (11.87) pour les populations et les cohérences.
2. Partant de (18.15), utiliser la méthode du § 11.4.3 pour obtenir directement K(ρ).
18.4.3 Modèle de dépolarisation
Dans cet exercice, H E est de dimension 4 et une base orthonormée est
formée par un état de référence |0 E et trois états |i E , i =1 , 2, 3 ; H A est
de dimension 2. La loi pour les sauts quantiques est définie par
U AE |ϕ A ⊗ 0 E =
1 − p |ϕ A ⊗ 0 E +
p
3
3
i=1
(σ iA ⊗ I E )|ϕ A ⊗ i E
Montrer que les opérateurs de Kraus sont
M 0 =
1 − p I,
M i =
p
3
σ i
Vérifier
µ M
†
µ M µ = I et calculer K(ρ). Montrer que l’évolution peut s’écrire
en fonction du vecteur de Bloch : si
ρ =
1
2
I + σ · b
alors
K(ρ)=
1
2
I + σ · b
′
b
′ =
1 −
4p
3
b
Pourquoi peut-on parler de modèle pour la dépolarisation ?