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Physique quantique : Exercices et applications
18.3.5 Décohérence d’un paquet d’ondes
Supposons que nous partions d’une superposition de deux paquets d’ondes
gaussiens centrés à x = ±a et de largeur σ ≪ a
ϕ(x) ≃
1
√
2
1
πσ 2
1/4
exp
−
(x − a)
2
2σ 2
+exp
−
(x + a)
2
2σ 2
(18.98)
La transformée de Fourier donne la distribution de probabilité en impulsion
| ˜
ϕ(p)|
2 =
2σ
√
π
exp
−
σ
2 p
2
2
cos
2 pa
(18.99)
On observe des oscillations rapides de période π/a ≪ /σ à l’intérieur d’une
enveloppe gaussienne, en raison de la cohérence des deux paquets d’ondes.
Avant d’exploiter (18.96), donnons une explication qualitative de la décohérence. La particule brownienne subit un grand nombre de collisions avec les
particules légères (molécules) dans le bain thermique. En raison de ces collisions, la particule brownienne effectue une marche au hasard dans l’espace
des impulsions
17 avec un coefficient de diffusion D (15.75), et la dispersion en
impulsion ∆p est donnée par
∆p
2 =2Dt
(18.100)
Chacun des pics dans | ˜
ϕ(p)|
2 s’élargit sous l’effet des collisions, et ces pics
vont être complètement brouillés au bout d’un temps τ dec que l’on évalue à
partir de (18.100)
∆p
2 ∼
π
a
2
=2Dτ dec ,
ou encore
τ dec ∼
2
Da 2
(18.101)
Pour étudier quantitativement l’évolution du paquet d’ondes, on se reporte à
(18.96), en utilisant le fait que les temps courts sont dominés par la diffusion
∂
∂t
x|ρ(t)|x
′ ≃−
D
2 (x − x
′ )
2 x|ρ(t)|x
′
Le temps de décohérence se lit directement sur cette équation
τ dec ≃
2
4Da 2 ∼
1
γ
λ T
a
2
(18.102)
Le coefficient de diffusion est D = Mγk B T (15.75) et λ T est la longueur
d’onde thermique (14.87)
λ T =
h
√
2πMk B T
17. Que l’on ne doit pas confondre avec une diffusion dans l’espace des positions !
Physique quantique : Exercices et applications
18.3.5 Décohérence d’un paquet d’ondes
Supposons que nous partions d’une superposition de deux paquets d’ondes
gaussiens centrés à x = ±a et de largeur σ ≪ a
ϕ(x) ≃
1
√
2
1
πσ 2
1/4
exp
−
(x − a)
2
2σ 2
+exp
−
(x + a)
2
2σ 2
(18.98)
La transformée de Fourier donne la distribution de probabilité en impulsion
| ˜
ϕ(p)|
2 =
2σ
√
π
exp
−
σ
2 p
2
2
cos
2 pa
(18.99)
On observe des oscillations rapides de période π/a ≪ /σ à l’intérieur d’une
enveloppe gaussienne, en raison de la cohérence des deux paquets d’ondes.
Avant d’exploiter (18.96), donnons une explication qualitative de la décohérence. La particule brownienne subit un grand nombre de collisions avec les
particules légères (molécules) dans le bain thermique. En raison de ces collisions, la particule brownienne effectue une marche au hasard dans l’espace
des impulsions
17 avec un coefficient de diffusion D (15.75), et la dispersion en
impulsion ∆p est donnée par
∆p
2 =2Dt
(18.100)
Chacun des pics dans | ˜
ϕ(p)|
2 s’élargit sous l’effet des collisions, et ces pics
vont être complètement brouillés au bout d’un temps τ dec que l’on évalue à
partir de (18.100)
∆p
2 ∼
π
a
2
=2Dτ dec ,
ou encore
τ dec ∼
2
Da 2
(18.101)
Pour étudier quantitativement l’évolution du paquet d’ondes, on se reporte à
(18.96), en utilisant le fait que les temps courts sont dominés par la diffusion
∂
∂t
x|ρ(t)|x
′ ≃−
D
2 (x − x
′ )
2 x|ρ(t)|x
′
Le temps de décohérence se lit directement sur cette équation
τ dec ≃
2
4Da 2 ∼
1
γ
λ T
a
2
(18.102)
Le coefficient de diffusion est D = Mγk B T (15.75) et λ T est la longueur
d’onde thermique (14.87)
λ T =
h
√
2πMk B T
17. Que l’on ne doit pas confondre avec une diffusion dans l’espace des positions !