18. Systèmes quantiques ouverts
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car dans le modèle de Caldeira-Leggett, κ est donné par
κ =
λ
m λ ω
2
λ =
2
π
∞
0
dω
ω
J(ω)=
2Mγω ∗
π
Dans ces conditions, la contribution de H CT (18.81) à l’évolution de l’opérateur statistique compense exactement (18.95). Il suffit maintenant de reporter
(18.91) et (18.94) dans (18.88) pour obtenir le résultat final, qui est une équation pilote pour une particule brownienne quantique
dρ
dt
= −
i
P
2
2M
,ρ(t)
−
iγ
2
X, {P, ρ(t)}
−
D
2
X,
X, ρ(t)
(18.96)
L’équation (18.96) est un résultat fondamental de la théorie des systèmes
quantiques ouverts. On observe que cette équation n’est pas du type de Lindblad ; on peut néanmoins montrer qu’elle préserve la positivité de ρ et se
ramène à une équation de Lindblad en ajoutant des termes négligeables dans
une limite de haute température
15 . Les trois termes du membre de gauche de
(18.96) s’interprètent comme suit :
1. Le premier terme est un terme d’évolution libre, (−i/)[H A ,ρ(t)].
2. Le deuxième terme est un terme de frottement.
3. Le troisième terme correspond à une diffusion, et c’est ce terme qui
conduit à la décohérence.
Il est possible de déterminer la solution du modèle de Caldeira-Leggett lorsque
la particule est soumise à un potentiel harmonique M Ω
2 X
2 /2.O np e u te n
fait écrire une solution exacte
16 au temps t
dρ
dt
= −
i
P
2
2M
+
1
2
M Ω
2 (t)X
2 ,ρ(t)
−
iγ(t)
2
X, {P, ρ(t)}
−
D(t)
2
X,
X, ρ(t)
−
f (t)
X, [P, ρ
(18.97)
Le dernier terme est appelé terme de diffusion anormale, qui est négligeable
dans la limite des temps longs. Les fonctions Ω(t), D(t), γ(t) et f (t) s’expriment sous forme d’intégrales que l’on doit en général calculer numériquement, sauf lorsque t →∞ , auquel cas une expression analytique est parfois
disponible.
15. Breuer et Petruccione [2002], chapitre 4.
16. Le problème étant linéaire (les équations du mouvement sont linéaires), il n’est
pas surprenant que l’on sache écrire une solution exacte qui s’obtient par des méthodes
d’intégrale de chemin.