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Physique quantique : Exercices et applications
avec
E =
∞
0
g(t
′ )X(−t
′ )dt
′
(18.89)
L’opérateur X(t) est donné dans le point de vue de l’interaction par
X(t
′ )=exp
iP
2 t
′
2M
X exp
−
iP
2 t
′
2M
= X +
Pt
′
M
(18.90)
un résultat que l’on déduit immédiatement de (7.67) si la dynamique est celle
d’une particule libre. Les termes proportionnels à D dans le membre de droite
de l’équation pilote font intervenir l’intégrale
2D
2
∞
0
δ ∗ (t
′ )
X −
Pt
′
M
ρ(t)X + Xρ(t)
X −
Pt
′
M
− X
X −
Pt
′
M
ρ(t) − ρ(t)
X −
Pt
′
M
X
dt
′
En raison de la largeur étroite de la fonction δ ∗ (t
′ ), les termes proportionnels
à Pt
′ /M sont négligeables, et il nous reste le double commutateur
−
D
2
X,
X, ρ(t)
(18.91)
Le terme proportionnel à Mγ est
iMγ
∞
0
δ
′
∗ (t
′ )
X −
Pt
′
M
ρ(t)X + Xρ(t)
X −
Pt
′
M
− X
X −
Pt
′
M
ρ(t) − ρ(t)
X −
Pt
′
M
X
dt
′
(18.92)
Les deux intégrales dont nous avons besoin sont
(i)
∞
0
δ
′
∗ (t
′ )t
′ dt
′ = −
1
2
(ii)
∞
0
δ
′
∗ (t
′ )dt
′ =
∞
0
dt
′ d
dt ′
sin ω ∗ t
′
πt ′
= −
ω ∗
π
(18.93)
L’équation (18.92) peut être écrite comme la somme de deux termes. Le premier, qui dépend de (i), est
γ
2i
X, {P, ρ(t)}
(18.94)
et le second, qui dépend de (ii) est
iMγω ∗
π
X
2 ,ρ(t)
=
i
1
2
κX
2 ,ρ(t)
(18.95)