18. Systèmes quantiques ouverts
795
résultats s’expriment en terme de la fonction spectrale J(ω)
J(ω)=
π
λ
|g λ |
2 δ(ω − ω λ )=
π
2
λ
m λ ω
3
λ δ(ω − ω λ )
(18.82)
Nous déduisons de (18.52) et (18.82) les expressions de la partie réelle C(t
′ )
et de la partie imaginaire χ(t
′ ) de la fonction d’autocorrélation g(t
′ ) :
C(t
′ )=
2k B T
π
∞
0
dω
ω
J(ω)cosωt
′ ,
χ(t
′ )=
2θ(t
′ )
π
∞
0
dωJ(ω)sinωt
′ = −
θ(t
′ )
k B T
dC
dt ′
(18.83)
Il nous faut maintenant choisir une forme spécifique de la fonction spectrale
J(ω). La fréquence caractéristique typique pour J(ω) étant ω ∗ =1 /τ ∗ ,n o u s
choisissons une fonction J(ω) s’annulant pour ω ≫ ω ∗ : ω ∗ joue le rôle d’un
cut-off en fréquence. La forme la plus commode pour les calculs analytiques
est celle de Caldeira and Leggett [1983]
J(ω)=Mγωθ(ω ∗ − ω)
(18.84)
L’analyse dimensionnelle montre que γ a les dimensions d’une fréquence, et
donc d’un coefficient de viscosité, comme dans ˙
v = −γv.L ec h o i xJ(ω) ∝ ω
assure que le coefficient de viscosité est indépendant de la fréquence. Nous nous
attendons à ce que les résultats ne dépendent pas qualitativement de la forme
précise de J(ω), la seule caractéristique importante étant l’existence d’un
cut-off en fréquence ω ∗ . Dans l’exercice 18.4.10, on montre que des résultats
équivalents sont obtenus en utilisant
J(ω)=Mγ ω
ω
2
∗
ω 2 + ω 2
∗
(18.85)
On peut relier γ à un coefficient de diffusion D dans l’espace des impulsions
grâce à la relation d’Einstein (15.75) D = Mγk B T . Avec le choix (18.84),
C(t
′ ) a une forme analytique simple
C(t
′ )=2k B TMγ
sin ω ∗ t
′
πt ′
(18.86)
La fonction sin ω ∗ t
′ /πt
′ exhibe un pic de hauteur ω ∗ /M et de largeur ∼ 1/ω ∗ =
τ ∗ à t
′ =0 , et elle devient une fonction delta dans la limite ω ∗ →∞ .N o u s
appellerons δ ∗ (t
′ ) une “fonction delta étalée” sur un intervalle de largeur de
largeur ∼ τ ∗ , et écrirons g(t) comme
g(t)=2Dδ ∗ (t)+iωδ
′
∗ (t)
(18.87)
Après ces préliminaires, nous sommes maintenant prêts à donner la forme de
l’équation pilote (18.62), qui devient dans le cas présent
dρ
dt
= −
i
P
2
2M
,ρ
−
i
1
2
κX
2 ,ρ
−
1
2
Eρ X + XρE
† − XEρ − ρE
† X
(18.88)
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résultats s’expriment en terme de la fonction spectrale J(ω)
J(ω)=
π
λ
|g λ |
2 δ(ω − ω λ )=
π
2
λ
m λ ω
3
λ δ(ω − ω λ )
(18.82)
Nous déduisons de (18.52) et (18.82) les expressions de la partie réelle C(t
′ )
et de la partie imaginaire χ(t
′ ) de la fonction d’autocorrélation g(t
′ ) :
C(t
′ )=
2k B T
π
∞
0
dω
ω
J(ω)cosωt
′ ,
χ(t
′ )=
2θ(t
′ )
π
∞
0
dωJ(ω)sinωt
′ = −
θ(t
′ )
k B T
dC
dt ′
(18.83)
Il nous faut maintenant choisir une forme spécifique de la fonction spectrale
J(ω). La fréquence caractéristique typique pour J(ω) étant ω ∗ =1 /τ ∗ ,n o u s
choisissons une fonction J(ω) s’annulant pour ω ≫ ω ∗ : ω ∗ joue le rôle d’un
cut-off en fréquence. La forme la plus commode pour les calculs analytiques
est celle de Caldeira and Leggett [1983]
J(ω)=Mγωθ(ω ∗ − ω)
(18.84)
L’analyse dimensionnelle montre que γ a les dimensions d’une fréquence, et
donc d’un coefficient de viscosité, comme dans ˙
v = −γv.L ec h o i xJ(ω) ∝ ω
assure que le coefficient de viscosité est indépendant de la fréquence. Nous nous
attendons à ce que les résultats ne dépendent pas qualitativement de la forme
précise de J(ω), la seule caractéristique importante étant l’existence d’un
cut-off en fréquence ω ∗ . Dans l’exercice 18.4.10, on montre que des résultats
équivalents sont obtenus en utilisant
J(ω)=Mγ ω
ω
2
∗
ω 2 + ω 2
∗
(18.85)
On peut relier γ à un coefficient de diffusion D dans l’espace des impulsions
grâce à la relation d’Einstein (15.75) D = Mγk B T . Avec le choix (18.84),
C(t
′ ) a une forme analytique simple
C(t
′ )=2k B TMγ
sin ω ∗ t
′
πt ′
(18.86)
La fonction sin ω ∗ t
′ /πt
′ exhibe un pic de hauteur ω ∗ /M et de largeur ∼ 1/ω ∗ =
τ ∗ à t
′ =0 , et elle devient une fonction delta dans la limite ω ∗ →∞ .N o u s
appellerons δ ∗ (t
′ ) une “fonction delta étalée” sur un intervalle de largeur de
largeur ∼ τ ∗ , et écrirons g(t) comme
g(t)=2Dδ ∗ (t)+iωδ
′
∗ (t)
(18.87)
Après ces préliminaires, nous sommes maintenant prêts à donner la forme de
l’équation pilote (18.62), qui devient dans le cas présent
dρ
dt
= −
i
P
2
2M
,ρ
−
i
1
2
κX
2 ,ρ
−
1
2
Eρ X + XρE
† − XEρ − ρE
† X
(18.88)