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Physique quantique : Exercices et applications
(P , P λ )e t( X, X λ ) sont les opérateurs impulsion et position de la particule
et des oscillateurs. Les différents hamiltoniens sont
H A =
P
2
2M
,
H R =
λ
P
2
λ
2m λ
+
1
2
ω
2
λ X
2
λ
=
λ
ω λ a
†
λ a λ
V =
1
2
κX
2 + XR = H CT + X
−
λ
g λ
a λ + a
†
λ
(18.79)
où les coefficients g λ et κ valent
g λ =
m λ ω 3
λ /2
κ =
λ
m λ ω
2
λ
(18.80)
A est ici l’opérateur position X de la particule brownienne, et CT désigne un
“contre-terme”, ainsi appelé pour des raisons qui seront explicitées ci-dessous ;
nous avons négligé l’énergie de point zéro des oscillateurs. Il semble que l’invariance par translation ait été brisée dans (18.79), mais ceci est bien sûr
un artefact de la décomposition : ainsi que nous le verrons ultérieurement, la
contribution du contre-terme non invariant par translation
H CT =
1
2
κX
2
(18.81)
compense exactement une autre contribution provenant de l’interaction, d’où
la dénomination “contre-terme”. La situation ressemble superficiellement à
celle étudiée dans le § 18.3.3, mais il y a une différence importante. Dans le
cas de l’optique quantique, le temps de relaxation 1/Γ=τ doit être grand
par rapport au temps d’évolution cohérente de A : τ ≫| ω − ω
′ |
−1 = τ A ,o ù
ω et ω
′ sont deux fréquences de Bohr typiques (exercice 18.4.8). La condition
de validité de l’équation pilote pour le mouvement brownien est au contraire
τ A ≫ τ ∗ , où par exemple τ A ∼ Ω
−1 si la particule est soumise à un potentiel harmonique M Ω
2 X
2 /2 : le temps typique de l’évolution cohérente doit
être grand par rapport à la fréquence typique du réservoir. Ces conditions de
validité sont résumées ci-dessous
optique quantique : τ ∗ ≪ τ, τ A ≪ τ
mouvement brownien : τ ∗ ≪ τ, τ ∗ ≪ τ A
Il est commode pour des calculs analytiques simples (mais pas indispensable
en principe) de prendre une limite haute température, où
n λ ≃ n λ +1≃
k B T
ω λ
≫ 1
Nous rappelons que les fréquences ω λ sont très resserrées sur un intervalle
∼ 1/τ ∗ , et les sommes sur λ peuvent être remplacées par des intégrales. Les
Physique quantique : Exercices et applications
(P , P λ )e t( X, X λ ) sont les opérateurs impulsion et position de la particule
et des oscillateurs. Les différents hamiltoniens sont
H A =
P
2
2M
,
H R =
λ
P
2
λ
2m λ
+
1
2
ω
2
λ X
2
λ
=
λ
ω λ a
†
λ a λ
V =
1
2
κX
2 + XR = H CT + X
−
λ
g λ
a λ + a
†
λ
(18.79)
où les coefficients g λ et κ valent
g λ =
m λ ω 3
λ /2
κ =
λ
m λ ω
2
λ
(18.80)
A est ici l’opérateur position X de la particule brownienne, et CT désigne un
“contre-terme”, ainsi appelé pour des raisons qui seront explicitées ci-dessous ;
nous avons négligé l’énergie de point zéro des oscillateurs. Il semble que l’invariance par translation ait été brisée dans (18.79), mais ceci est bien sûr
un artefact de la décomposition : ainsi que nous le verrons ultérieurement, la
contribution du contre-terme non invariant par translation
H CT =
1
2
κX
2
(18.81)
compense exactement une autre contribution provenant de l’interaction, d’où
la dénomination “contre-terme”. La situation ressemble superficiellement à
celle étudiée dans le § 18.3.3, mais il y a une différence importante. Dans le
cas de l’optique quantique, le temps de relaxation 1/Γ=τ doit être grand
par rapport au temps d’évolution cohérente de A : τ ≫| ω − ω
′ |
−1 = τ A ,o ù
ω et ω
′ sont deux fréquences de Bohr typiques (exercice 18.4.8). La condition
de validité de l’équation pilote pour le mouvement brownien est au contraire
τ A ≫ τ ∗ , où par exemple τ A ∼ Ω
−1 si la particule est soumise à un potentiel harmonique M Ω
2 X
2 /2 : le temps typique de l’évolution cohérente doit
être grand par rapport à la fréquence typique du réservoir. Ces conditions de
validité sont résumées ci-dessous
optique quantique : τ ∗ ≪ τ, τ A ≪ τ
mouvement brownien : τ ∗ ≪ τ, τ ∗ ≪ τ A
Il est commode pour des calculs analytiques simples (mais pas indispensable
en principe) de prendre une limite haute température, où
n λ ≃ n λ +1≃
k B T
ω λ
≫ 1
Nous rappelons que les fréquences ω λ sont très resserrées sur un intervalle
∼ 1/τ ∗ , et les sommes sur λ peuvent être remplacées par des intégrales. Les