18. Systèmes quantiques ouverts
793
0
Γ +
Γ −
1
Fig. 18.2 – Taux de transition Γ+ and Γ−.
où D(ω 0 ) est la densité d’états du réservoir. Le rapport Γ + /Γ − est donné
par la loi de Boltzmann
Γ +
Γ −
= e
ω/kBT
L’équation pilote (18.73) nous permet d’écrire par inspection (en se souvenant
de la correspondance a → σ + , a
† → σ − ; voir la note 7) la généralisation à
T =0de (18.36), qui donne l’équation pilote pour un oscillateur harmonique
couplé au champ électromagnétique quantifié à température non nulle
dρ
dt
= −
i
[H 0 ,ρ]+
1
2
Γ +
2aρa
† −{a
† a, ρ}
+
1
2
Γ −
2a
† ρa −{aa
† ,ρ}
(18.77)
Des démonstrations détaillées de cette équation se trouvent dans des livres
d’optique quantique cités dans la bibliographie.
18.3.4 Mouvement brownien quantique
Notre dernier exemple sera celui d’une particule de masse M , couplée à
un bain thermique d’oscillateurs harmoniques indépendants de masses m λ et
de fréquences ω λ . Ceci est un cas typique de mouvement brownien, où une
particule lourde interagit avec des particules légères (molécules) d’un bain
thermique, et où l’on peut identifier deux échelles de temps très différentes :
l’échelle de temps τ ∗ typique du bain et l’échelle de temps τ typique du mouvement de la particule lourde, avec τ ∗ ≪ τ . Caldeira et Leggett [1983] ont
proposé un modèle spécifique pour A et AR,o ùA est une particule quantique libre
14 se déplaçant dans un espace à une dimension, une simplification
qui n’affecte pas la physique
H AR =
P
2
2M
+
λ
P
2
λ
2m λ
+
1
2
λ
m λ ω
2
λ (X − X λ )
2
(18.78)
14. On peut aussi mettre la particule dans un potentiel U (X), par exemple un potentiel
harmonique M Ω 2 X 2 /2, voir (18.97).