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Physique quantique : Exercices et applications
Soulignons que la forme de Lindblad ne peut être obtenue que si l’on effectue l’approximation séculaire, qui est valable à condition que la fréquence
caractérisique ω 0 du système libre soit très grande par rapport au taux de
relaxation Γ : ω 0 ≫ Γ. Cette condition est bien vérifiée en optique quantique
où ω 0 ∼ 10
15 rad.s
−1 et Γ ∼ 10
9 rad.s
−1 . En d’autres termes, la dynamique
cohérente du système doit être rapide par rapport à celle de sa relaxation, et
le système effectue un grand nombre de cycles pendant le temps de relaxation.
Dans ces conditions, et si le spectre de H A est non dégénéré, on peut montrer
que les populations obéissent à un système fermé d’équations différentielles,
les équations de Pauli (exercice 18.4.8, question 3).
Les deux opérateurs de saut quantique de l’équation de Lindblad sont
L + =
Γ +
2
σ + ,L − =
Γ −
2
σ −
(18.74)
Le déplacement d’énergie ∆ (ou déplacement Lamb)
∆=∆ − − ∆ + =
λ
|g λ |
2 (2n λ +1)
P
ω 0 − ω λ
+
P
ω 0 + ω λ
(18.75)
représente les corrections radiatives à la différence d’énergie ω 0 entre les
deux niveaux provenant de l’interaction du système à deux niveaux avec le
bain thermique d’oscillateurs.
L’équation (18.73) généralise (18.22) obtenue à T =0, où seule l’émission
spontanée avait été prise en compte, et le déplacement Lamb ne pouvait pas
être calculé. À température non nulle, on doit aussi prendre en compte l’absorption de photons : le taux de relaxation Γ + décrit les transitions |1→|0
et Γ − les transitions |0→| 1 (figure 18.2). Il est facile de vérifier (exercice 18.4.7) que Γ=Γ + +Γ − est le taux de relaxation des populations, tandis
que celui des cohérences est Γ/2 :l ar e l a t i o nT 2 =2 T 1 est aussi valable à
température non nulle. Dans le même exercice, on montre qu’à la limite des
temps longs, les populations des niveaux |0 and |1 sont donnés par la loi de
Boltzmann (1.12), avec une température T égale à celle du bain thermique.
Ceci confirme la cohérence de notre approche, car ce résultat montre que le
système est en équilibre avec le bain thermique dans la limite des temps longs.
La largeur totale Γ est donnée explicitement par
Γ=Γ + +Γ − =
2π
λ
|g λ |
2 (2n λ +1)δ(ω 0 − ω λ )
(18.76)
Ceci est une vérification intéressante du calcul, car (18.76) peut être écrit sous
la forme de la règle d’or de Fermi (8.152) :
Γ=
2π
|g(ω 0 )|
2 (2n 0 +1)D(ω 0 )
Physique quantique : Exercices et applications
Soulignons que la forme de Lindblad ne peut être obtenue que si l’on effectue l’approximation séculaire, qui est valable à condition que la fréquence
caractérisique ω 0 du système libre soit très grande par rapport au taux de
relaxation Γ : ω 0 ≫ Γ. Cette condition est bien vérifiée en optique quantique
où ω 0 ∼ 10
15 rad.s
−1 et Γ ∼ 10
9 rad.s
−1 . En d’autres termes, la dynamique
cohérente du système doit être rapide par rapport à celle de sa relaxation, et
le système effectue un grand nombre de cycles pendant le temps de relaxation.
Dans ces conditions, et si le spectre de H A est non dégénéré, on peut montrer
que les populations obéissent à un système fermé d’équations différentielles,
les équations de Pauli (exercice 18.4.8, question 3).
Les deux opérateurs de saut quantique de l’équation de Lindblad sont
L + =
Γ +
2
σ + ,L − =
Γ −
2
σ −
(18.74)
Le déplacement d’énergie ∆ (ou déplacement Lamb)
∆=∆ − − ∆ + =
λ
|g λ |
2 (2n λ +1)
P
ω 0 − ω λ
+
P
ω 0 + ω λ
(18.75)
représente les corrections radiatives à la différence d’énergie ω 0 entre les
deux niveaux provenant de l’interaction du système à deux niveaux avec le
bain thermique d’oscillateurs.
L’équation (18.73) généralise (18.22) obtenue à T =0, où seule l’émission
spontanée avait été prise en compte, et le déplacement Lamb ne pouvait pas
être calculé. À température non nulle, on doit aussi prendre en compte l’absorption de photons : le taux de relaxation Γ + décrit les transitions |1→|0
et Γ − les transitions |0→| 1 (figure 18.2). Il est facile de vérifier (exercice 18.4.7) que Γ=Γ + +Γ − est le taux de relaxation des populations, tandis
que celui des cohérences est Γ/2 :l ar e l a t i o nT 2 =2 T 1 est aussi valable à
température non nulle. Dans le même exercice, on montre qu’à la limite des
temps longs, les populations des niveaux |0 and |1 sont donnés par la loi de
Boltzmann (1.12), avec une température T égale à celle du bain thermique.
Ceci confirme la cohérence de notre approche, car ce résultat montre que le
système est en équilibre avec le bain thermique dans la limite des temps longs.
La largeur totale Γ est donnée explicitement par
Γ=Γ + +Γ − =
2π
λ
|g λ |
2 (2n λ +1)δ(ω 0 − ω λ )
(18.76)
Ceci est une vérification intéressante du calcul, car (18.76) peut être écrit sous
la forme de la règle d’or de Fermi (8.152) :
Γ=
2π
|g(ω 0 )|
2 (2n 0 +1)D(ω 0 )