18. Systèmes quantiques ouverts
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on peut montrer que les coefficients γ ijkl peuvent être négligés si
13 |ω ij −ω kl |≫
Γ, ω ij = E i − E j . Cette approximation séculaire nous permet de justifier la
forme des équations de Bloch (18.6) ; voir aussi l’exercice 18.4.8.
Calculons explicitement G ± (ω 0 )
G + (ω 0 )=
λ
|g λ |
2
(n λ +1)
i
ω 0 − ω λ + iη
+ n λ
i
ω 0 + ω λ + iη
G − (ω 0 )=
λ
|g λ |
2
n λ
−i
ω 0 − ω λ − iη
+(n λ +1)
−i
ω 0 + ω λ − iη
(18.69)
où η → 0
+ . Utilisant la formule classique
i
x ± iη
= i
P
x
± πδ(x)
(18.70)
où P désigne une valeur principale de Cauchy, nous trouvons pour G + (ω 0 )
G + (ω 0 )=
1
2
Γ + − i∆ + ,
Γ + =2π
λ
|g λ |
2 (n λ +1)δ(ω 0 − ω λ ),
∆ + = −
λ
|g λ |
2
(n λ +1)
P
ω 0 − ω λ
+ n λ
P
ω 0 + ω λ
(18.71)
tandis que G − (ω 0 ) est donné par
G − (ω 0 )=
1
2
Γ − − i∆ − ,
Γ − =2π
λ
|g λ |
2 n λ δ(ω 0 − ω λ ),
∆ − = −
λ
|g λ |
2
n λ
P
ω 0 − ω λ
+(n λ +1)
P
ω 0 + ω λ
(18.72)
En substituant les deux équations précédentes dans (18.68), en omettant la
dernière ligne et en utilisant
σ + σ − =
1
2
(1 + σ z ),σ − σ + =
1
2
(1 − σ z ),
nous obtenons une équation pilote sous la forme de Lindblad
dρ
dt
=
i
2
(ω 0 +∆)[σ z ,ρ]
+
1
2
Γ +
2σ + ρσ − −{σ − σ + ,ρ}
+
1
2
Γ −
2σ − ρσ + −{σ + σ − ,ρ}
(18.73)
13. Voir Cohen-Tannoudji et al. [1998], Chap. IV, pour une discussion détaillée.