790
Physique quantique : Exercices et applications
18.3.3 Relaxation d’un système à deux niveaux
Appliquons les résultats précédents au cas où le système A est un système
à deux niveaux couplé à un bain thermique d’oscillateurs harmoniques indépendants : photons, phonons... Le hamiltonien libre H A du système à deux
niveaux est maintenant H 0 (18.2)
H A ≡ H 0 = −
ω 0
2
σ z
(18.64)
et notre objectif est de comprendre ses propriétés de relaxation. L’interaction
système-réservoir W doit être capable d’induire des transitions entre les deux
niveaux, et un choix possible est
W = σ x R = σ x
λ
g λ a λ + g
∗
λ a
†
λ
(18.65)
et par conséquent A = σ x =(σ + + σ − ).L ’ o p é r a t e u rE (18.63) agissant sur le
système à deux niveaux est
E =
∞
0
g(t
′ )A(−t
′ )dt
′ = G + (ω 0 )σ + + G − (ω 0 )σ −
(18.66)
avec
G ± (ω 0 )=G ∓ (−ω 0 )=
∞
0
g(t
′ )e
±iω0t
′
dt
′
(18.67)
où nous avons utilisé (18.23). Reportant (18.66) dans (18.62) et utilisant σ
2
+ =
σ
2
− =0, nous obtenons
dρ
dt
=
i
2
ω 0 [σ z ,ρ]
+(G + + G
∗
+ )σ + ρσ − − G + σ − σ + ρ − G
∗
+ ρσ − σ +
+(G − + G
∗
− )σ − ρσ + − G − σ + σ − ρ − G
∗
− ρσ + σ −
+(G + + G
∗
− )σ + ρσ + +(G − + G
∗
+ )σ − ρσ −
(18.68)
Utilisant l’invariance de la trace par permutation cyclique, nous pouvons vérifier que l’équation a été écrite de telle sorte que chacune des trois premières
lignes est de trace nulle. La quatrième ligne ne contribue pas à l’évolution des
populations (exercice 18.4.7), seulement à celle des cohérences. Mais même
cette contribution aux cohérences peut être négligée à l’approximation séculaire, en utilisant le même argument que dans le § 5.3.2 : si nous revenons à
d˜ ρ/dt et au point de vue de l’interaction, ˜
σ ± (t) ∼ exp(∓iω 0 t), et le dernier
terme de (18.67) varie comme exp(∓2iω 0 t). Il oscille donc très rapidement
contrairement aux autres termes et on peut supposer qu’il est nul en moyenne.
Ceci est un résultat général : si les termes de relaxation sont écrits sous la
forme
d˜ ρ ij
dt
=
1
k,l=0
γ ijkl ˜
ρ kl
Physique quantique : Exercices et applications
18.3.3 Relaxation d’un système à deux niveaux
Appliquons les résultats précédents au cas où le système A est un système
à deux niveaux couplé à un bain thermique d’oscillateurs harmoniques indépendants : photons, phonons... Le hamiltonien libre H A du système à deux
niveaux est maintenant H 0 (18.2)
H A ≡ H 0 = −
ω 0
2
σ z
(18.64)
et notre objectif est de comprendre ses propriétés de relaxation. L’interaction
système-réservoir W doit être capable d’induire des transitions entre les deux
niveaux, et un choix possible est
W = σ x R = σ x
λ
g λ a λ + g
∗
λ a
†
λ
(18.65)
et par conséquent A = σ x =(σ + + σ − ).L ’ o p é r a t e u rE (18.63) agissant sur le
système à deux niveaux est
E =
∞
0
g(t
′ )A(−t
′ )dt
′ = G + (ω 0 )σ + + G − (ω 0 )σ −
(18.66)
avec
G ± (ω 0 )=G ∓ (−ω 0 )=
∞
0
g(t
′ )e
±iω0t
′
dt
′
(18.67)
où nous avons utilisé (18.23). Reportant (18.66) dans (18.62) et utilisant σ
2
+ =
σ
2
− =0, nous obtenons
dρ
dt
=
i
2
ω 0 [σ z ,ρ]
+(G + + G
∗
+ )σ + ρσ − − G + σ − σ + ρ − G
∗
+ ρσ − σ +
+(G − + G
∗
− )σ − ρσ + − G − σ + σ − ρ − G
∗
− ρσ + σ −
+(G + + G
∗
− )σ + ρσ + +(G − + G
∗
+ )σ − ρσ −
(18.68)
Utilisant l’invariance de la trace par permutation cyclique, nous pouvons vérifier que l’équation a été écrite de telle sorte que chacune des trois premières
lignes est de trace nulle. La quatrième ligne ne contribue pas à l’évolution des
populations (exercice 18.4.7), seulement à celle des cohérences. Mais même
cette contribution aux cohérences peut être négligée à l’approximation séculaire, en utilisant le même argument que dans le § 5.3.2 : si nous revenons à
d˜ ρ/dt et au point de vue de l’interaction, ˜
σ ± (t) ∼ exp(∓iω 0 t), et le dernier
terme de (18.67) varie comme exp(∓2iω 0 t). Il oscille donc très rapidement
contrairement aux autres termes et on peut supposer qu’il est nul en moyenne.
Ceci est un résultat général : si les termes de relaxation sont écrits sous la
forme
d˜ ρ ij
dt
=
1
k,l=0
γ ijkl ˜
ρ kl