18. Systèmes quantiques ouverts
789
temps ∼ τ ∗ . On voit que le temps caractérisque naturel /|W| est très petit
par rapport à τ : ce phénomène est appelé rétrécissement par le mouvement
(motion narrowing), et il vient de ce que A est couplé à un grand nombre de
modes indépendants. Compte tenu de (18.59) et (18.60), l’équation approchée
pour ˜
ρ est
d˜ ρ
dt
= −
1
2
t
0
dt
′ Tr R
W (t), [W (t
′ ), ˜
ρ A (t
′ ) ⊗ ρ R (0)
En effectuant la trace sur les variables du réservoir, nous obtenons une équation du mouvement pour ˜
ρ qui dépend seulement de A et g (exercise 18.4.6) :
d˜ ρ
dt
=
1
2
t
0
dt
′ g(t
′ )
A(t − t
′ )˜ ρ(t − t
′ )A(t) − A(t)A(t − t
′ )˜ ρ(t − t
′ )+
+h.c.
où h.c.= terme conjugué hermitien, et nous avons effectué le changement
de variable t
′ → t − t
′ . Cette équation est encore une équation intégrodifférentielle qui contient des effets de mémoire et pas une équation pilote.
Pour obtenir une équation pilote, nous observons d’après (18.53) que les temps
t
′ qui contribuent de façon significative à l’intégrale sont bornés par τ ∗ , t
′ < ∼ τ ∗ .
La différence [˜ ρ(t − t
′ ) − ˜
ρ(t)] est donc bornée par
|˜ ρ(t − t
′ ) − ˜
ρ(t)| < ∼ O
|W|τ ∗
et nous pouvons remplacer ˜
ρ(t
′ − t) par ˜
ρ(t) de manière cohérente avec les
approximations précédentes : l’erreur commise est d’un ordre plus élevé dans
le petit paramètre τ ∗ /τ.P r e n a n tt ≫ τ ∗ , nous pouvons envoyer la borne
supérieure de l’intégrale à l’infini et écrire
d˜ ρ
dt
=
1
2
∞
0
dt
′ g(t
′ )
A(t − t
′ )˜ ρ(t)A(t) − A(t)A(t − t
′ )˜ ρ(t)+
+h.c.
Ceci met un point final à notre justification de l’approximation markovienne
car l’équation pour ˜
ρ est maintenant locale en t et ne dépend plus des conditions initiales. Il est commode (mais non indispensable) de revenir au point
de vue de Schrödinger, où l’équation pilote pour ρ s’écrit finalement
dρ
dt
= −
i
[H A ,ρ]+
1
2
EρA + Aρ E
† − AEρ − ρE
† A
(18.62)
l’opérateur E étant donné par
E =
∞
0
g(t
′ )A(−t
′ )dt
′
(18.63)
Toutefois, les équations (18.62) et (18.63) ne suffisent pas pour assurer l’existence d’un sous-groupe dynamique. Il faut, en outre, pouvoir utiliser une approximation séculaire : voir (18.68) et l’exercice 18.4.8.
789
temps ∼ τ ∗ . On voit que le temps caractérisque naturel /|W| est très petit
par rapport à τ : ce phénomène est appelé rétrécissement par le mouvement
(motion narrowing), et il vient de ce que A est couplé à un grand nombre de
modes indépendants. Compte tenu de (18.59) et (18.60), l’équation approchée
pour ˜
ρ est
d˜ ρ
dt
= −
1
2
t
0
dt
′ Tr R
W (t), [W (t
′ ), ˜
ρ A (t
′ ) ⊗ ρ R (0)
En effectuant la trace sur les variables du réservoir, nous obtenons une équation du mouvement pour ˜
ρ qui dépend seulement de A et g (exercise 18.4.6) :
d˜ ρ
dt
=
1
2
t
0
dt
′ g(t
′ )
A(t − t
′ )˜ ρ(t − t
′ )A(t) − A(t)A(t − t
′ )˜ ρ(t − t
′ )+
+h.c.
où h.c.= terme conjugué hermitien, et nous avons effectué le changement
de variable t
′ → t − t
′ . Cette équation est encore une équation intégrodifférentielle qui contient des effets de mémoire et pas une équation pilote.
Pour obtenir une équation pilote, nous observons d’après (18.53) que les temps
t
′ qui contribuent de façon significative à l’intégrale sont bornés par τ ∗ , t
′ < ∼ τ ∗ .
La différence [˜ ρ(t − t
′ ) − ˜
ρ(t)] est donc bornée par
|˜ ρ(t − t
′ ) − ˜
ρ(t)| < ∼ O
|W|τ ∗
et nous pouvons remplacer ˜
ρ(t
′ − t) par ˜
ρ(t) de manière cohérente avec les
approximations précédentes : l’erreur commise est d’un ordre plus élevé dans
le petit paramètre τ ∗ /τ.P r e n a n tt ≫ τ ∗ , nous pouvons envoyer la borne
supérieure de l’intégrale à l’infini et écrire
d˜ ρ
dt
=
1
2
∞
0
dt
′ g(t
′ )
A(t − t
′ )˜ ρ(t)A(t) − A(t)A(t − t
′ )˜ ρ(t)+
+h.c.
Ceci met un point final à notre justification de l’approximation markovienne
car l’équation pour ˜
ρ est maintenant locale en t et ne dépend plus des conditions initiales. Il est commode (mais non indispensable) de revenir au point
de vue de Schrödinger, où l’équation pilote pour ρ s’écrit finalement
dρ
dt
= −
i
[H A ,ρ]+
1
2
EρA + Aρ E
† − AEρ − ρE
† A
(18.62)
l’opérateur E étant donné par
E =
∞
0
g(t
′ )A(−t
′ )dt
′
(18.63)
Toutefois, les équations (18.62) et (18.63) ne suffisent pas pour assurer l’existence d’un sous-groupe dynamique. Il faut, en outre, pouvoir utiliser une approximation séculaire : voir (18.68) et l’exercice 18.4.8.