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Physique quantique : Exercices et applications
En effet, comme R≫A(le réservoir est beaucoup plus grand que le
système), nous nous attendons à ce que
|δ ˜
ρ AR (t)|/|˜ ρ AR (t)|≪1
Ceci revient à ignorer la réaction du système sur le réservoir et conduit
à des équations irréversibles pour le système.
2. Sur un temps t ∼ τ ∗ , les relations de phase entre A et R évoluent de
∼| W | τ
∗ /.C o m m ei lyap e r t ed em é m o i r ep o u rt > ∼ τ ∗ , une phase
typique Φ effectue une marche au hasard, et pendant un temps t ≫ τ ∗ ,
elle effectue un nombre de pas ∼ t/τ ∗ ; son écart quadratique moyen
vaut
∆Φ
2 (t ≫ τ ∗ ) ≃
|W|τ ∗
2
×
t
τ ∗
=
t
τ
Lorsque |W|τ ∗ / ≪ 1,o ns et r o u v ee np r é s e n c ed ed e u xé c h e l l e sd et e m p s
très différentes, une échelle de temps microscopique τ ∗ et une échelle de temps
macroscopique τ
τ =
|W|τ ∗
2
τ ∗
(18.57)
avec τ ≫ τ ∗ . On peut alors procéder à la “granulation” (18.27) de ˜
ρ sur un
intervalle de temps ∆t choisi tel que τ ∗ ≪ ∆t ≪ τ . La condition fondamentale
de validité est l’inégalité
|W|τ ∗
≪ 1
(18.58)
et si elle est vérifiée, on peut montrer rigoureusement
12 que
1.
|δ ˜
ρ AR (t)| = O
|W|τ ∗
2
= O
τ ∗
τ
(18.59)
2.
˜
ρ R (t)=ρ R (t =0)+O
|W|τ
∗
2
= ρ R (0) + O
τ ∗
τ
(18.60)
ce qui justifie la discussion qualitative donnée précédemment. En résumé,
l’existence de deux échelles de temps très différentes, τ et τ ∗ ,a v e cτ ≫ τ ∗
τ ∗ ≪
|W|
≪ τ =
2
|W| 2 τ ∗
(18.61)
est la condition cruciale de validité de l’équation pilote pour la granulation de
˜
ρ : rappelons que la dérivée par rapport au temps ne doit pas se comprendre
comme lim ∆t→0 ∆˜ ρ/∆t, car la granulation lisse les variations de ˜
ρ sur des
12. Cohen-Tannoudji et al. [1998], chapitre IV.