18. Systèmes quantiques ouverts
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Revenons à (18.49), qu’il est commode de mettre sous forme intégrale
˜
ρ AR (t)=ρ AR (0) −
i
t
0
dt
′
W (t
′ ), ˜
ρ AR (t
′ )
L’itération de cette équation donne
˜
ρ AR (t)=ρ AR (0) −
i
t
0
dt
′
W (t
′ ),ρ AR (0)
−
1
2
t
0
dt
′
t
′
0
dt
′′
W (t
′ ),
W (t
′′ ), ˜
ρ AR (t
′′ )
On différentie ensuite cette équation par rapport à t
d˜ ρ AR
dt
= −
i
W (t),ρ AR (0)
−
1
2
t
0
dt
′
W (t), [W (t
′ ), ˜
ρ AR (t
′ )
(18.54)
Supposons que l’interaction W soit branchée à t =0; ρ AR (t =0 )possède
alors une forme factorisée
ρ AR (t =0)=ρ(t =0)⊗ ρ R (t =0)
(18.55)
Prenons dans (18.54) la trace sur les degrés de liberté du réservoir (exercice 18.4.5)
Tr R
W (t),ρ AR (0)] =
A(t),ρ A (0)
Tr R
R(t)ρ R
=0
où nous avons utilisé (18.45). Ceci donne une équation exacte, étant donné
la condition initiale (18.55), pour l’opérateur statistique ˜
ρ A (t) ≡ ˜
ρ(t) du système A
d˜ ρ
dt
= −
1
2
t
0
dt
′ Tr R
W (t), [W (t
′ ), ˜
ρ AR (t
′ )
(18.56)
18.3.2 Déduction de l’équation pilote
Le temps caractéristique d’évolution est a priori ∼ /|W|,o ùW est un
élément de matrice typique de W . On ne peut pas se satisfaire de la théorie
des perturbations, qui n’est valable que pour des temps |W|t/ ≪ 1,alorsque
nous cherchons une théorie valable pour des temps longs. Deux points sont à
souligner :
1. Nous pouvons espérer une factorisation approchée au temps t, et pas
seulement à t =0
˜
ρ AR (t)=˜ ρ A (t) ⊗ ˜
ρ R (t)+δ ˜
ρ AR (t)
˜
ρ A (t)=T r R [˜ ρ AR (t)]
˜
ρ R (t)=T r A [˜ ρ AR (t)]