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Physique quantique : Exercices et applications
où le nombre d’occupation n λ est celui de la distribution de Bose-Einstein
n λ =
1
e ω λ /kBT − 1
(18.46)
L’interaction système-réservoir s’écrit plus précisément
W = AR,
R = R
† =
λ
(g λ a λ + g
∗
λ a
†
λ )
(18.47)
où A = A
† est un opérateur agissant dans H A . L’évolution de l’opérateur
statistique est donnée dans le point de vue de Schrödinger par
dρ AR
dt
= −
i
[H AR ,ρ AR ]
(18.48)
Pour résoudre cette équation, il est utile de passer dans le point de vue de
l’interaction
11
d˜ ρ AR
dt
= −
i
[W (t), ˜
ρ AR (t)] = −
i
[A(t)R(t), ˜
ρ AR (t)]
(18.49)
où les opérateurs A(t) et R(t) sont définis par
A(t)= e
iHT t/ A e
−iHT t/ = e
iHAt/ A e
−iHAt/ ,
R(t)= e
iHT t/ R e
−iHT t/ = e
iHRt/ R e
−iHRt/
(18.50)
=
λ
g λ a λ e
−iω λ t + g λ a
†
λ e
iω λ t
car H R (H A ) n’agit pas sur les degrés de liberté de A (R). Une fonction
qui jouera un rôle crucial dans ce qui suit est la fonction d’autocorrélation
d’équilibre g(t
′ ) de R(t)
g(t
′ )=R(t)R(t − t
′ ) = R(t
′ )R(0)
(18.51)
En raison de l’invariance par translation de temps à l’équilibre, R(t 1 )R(t 2 )
ne peut dépendre que de la différence (t 1 − t 2 ),etd ep l u sg(t)=g
∗ (−t) parce
que R(t) est hermitien. La forme explicite de g(t
′ ) se calcule à partir de (18.45)
et (18.50)
g(t
′ )=
λ
|g λ |
2
n λ e
iω λ t
′ +(n λ +1)e
−iω λ t
′
(18.52)
La fonction g(t
′ ) est la somme d’un grand nombre d’exponentielles oscillant
à des fréquences différentes, et ces exponentielles interfèrent destructivement
pour |t| > ∼ τ ∗ . On s’attend donc à une décroissance exponentielle, contrôlée
par un temps d’autocorrélation ∼ τ ∗
|g(t
′ )|∼e
−|t
′ |/τ ∗
(18.53)
11. Afin d’alléger les notations, nous écrivons W (t) au lieu de ˜
W (t), etc., car la dépendance par rapport à t évite toute ambiguïté.