18. Systèmes quantiques ouverts
785
comme on le montre dans l’exercice 18.4.6, les termes non diagonaux de la
matrice statistique décroissent comme
exp
−
1
2
Γ|z 1 − z 2 |
2 t
Le taux de décohérence Γ dec est beaucoup plus grand que le taux d’amortissement Γ si |z 1 − z 2 |
2 ≫ 1 :
Γ dec =
1
2
Γ|z 1 − z 2 |
2 .
(18.41)
Il est proportionnel au carré de la “distance” |z 1 − z 2 | entre les deux états
cohérents. Les états cohérents sont donc des états pointeurs.
18.3 Couplage à un bain thermique
d’oscillateurs
18.3.1 Équations d’évolution exactes
Dans cette section, nous nous proposons de donner une image plus quantitative du phénomène de décohérence en étudiant un modèle explicite semiréaliste. Le modèle décrit l’interaction d’un système A avec un ensemble R
d’oscillateurs harmoniques indépendants de fréquences ω λ à l’équilibre thermique, ou réservoir, qui joue le rôle de l’environment de A. Dans le § 18.3.3, A
sera un système à deux niveaux, et dans le § 18.3.4, une particule brownienne.
Le hamiltonien complet H AR se décompose en H A , le hamiltonien du système,
H R , le hamiltonien du réservoir et W , l’interaction système-réservoir
H AR = H A + H R + W = H T + W,
H T = H A + H R
(18.42)
avec
H R =
λ
ω λ a
†
λ a λ
(18.43)
Les fréquences ω λ sont supposées former un continuum dans un grand intervalle de fréquences ω ∗ ∼ 1/τ ∗ . En effet, un nombre fini de fréquences conduirait à des récurrences de Poincaré et il ne pourrait pas y avoir d’irréversibilité :
il faut donc prendre la limite d’un nombre infini de fréquences. Lorsque W =0,
l’opérateur statistique du réservoir est donné par la distribution canonique
ρ R (t =0)=
e
−HR/kBT
Tr (e −HR/kBT )
(18.44)
On déduit de cette expression les résultats standard pour les moyennes d’équilibre, notées ••
a λ = a
†
λ =0,
a
†
λ a µ = n λ δ λµ ,
a λ a
†
µ =(n λ +1)δ λµ (18.45)
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comme on le montre dans l’exercice 18.4.6, les termes non diagonaux de la
matrice statistique décroissent comme
exp
−
1
2
Γ|z 1 − z 2 |
2 t
Le taux de décohérence Γ dec est beaucoup plus grand que le taux d’amortissement Γ si |z 1 − z 2 |
2 ≫ 1 :
Γ dec =
1
2
Γ|z 1 − z 2 |
2 .
(18.41)
Il est proportionnel au carré de la “distance” |z 1 − z 2 | entre les deux états
cohérents. Les états cohérents sont donc des états pointeurs.
18.3 Couplage à un bain thermique
d’oscillateurs
18.3.1 Équations d’évolution exactes
Dans cette section, nous nous proposons de donner une image plus quantitative du phénomène de décohérence en étudiant un modèle explicite semiréaliste. Le modèle décrit l’interaction d’un système A avec un ensemble R
d’oscillateurs harmoniques indépendants de fréquences ω λ à l’équilibre thermique, ou réservoir, qui joue le rôle de l’environment de A. Dans le § 18.3.3, A
sera un système à deux niveaux, et dans le § 18.3.4, une particule brownienne.
Le hamiltonien complet H AR se décompose en H A , le hamiltonien du système,
H R , le hamiltonien du réservoir et W , l’interaction système-réservoir
H AR = H A + H R + W = H T + W,
H T = H A + H R
(18.42)
avec
H R =
λ
ω λ a
†
λ a λ
(18.43)
Les fréquences ω λ sont supposées former un continuum dans un grand intervalle de fréquences ω ∗ ∼ 1/τ ∗ . En effet, un nombre fini de fréquences conduirait à des récurrences de Poincaré et il ne pourrait pas y avoir d’irréversibilité :
il faut donc prendre la limite d’un nombre infini de fréquences. Lorsque W =0,
l’opérateur statistique du réservoir est donné par la distribution canonique
ρ R (t =0)=
e
−HR/kBT
Tr (e −HR/kBT )
(18.44)
On déduit de cette expression les résultats standard pour les moyennes d’équilibre, notées ••
a λ = a
†
λ =0,
a
†
λ a µ = n λ δ λµ ,
a λ a
†
µ =(n λ +1)δ λµ (18.45)