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Physique quantique : Exercices et applications
calculée au § 18.3.3. De plus, une démonstration complète de (18.36) montre
que celle-ci est valable sous la condition Γ ≪ ω 0 . Cette condition nous permet
d’ignorer le couplage entre éléments de matrice de l’opérateur statistique qui
évoluent avec des fréquences différentes, par exemple le couplage entre populations et cohérences (exercice 18.4.8). Nous nous débarrassons du commutateur
en passant dans le point de vue de l’interaction (comparer avec (5.57))
˜
a(t)=e
iH0t/ a e
−iH0t/ = ae
−iω0t
˜
a
† (t)=e
iH0t/ a
† e
−iH0t/ = a
† e
iω0t
(18.37)
d’où
d˜ ρ
dt
=Γ
˜
a ˜
ρ ˜
a
† −
1
2
{˜ a
† ˜
a, ˜
ρ}
=Γ
a ˜
ρa
† −
1
2
{a
† a, ˜
ρ}
(18.38)
Nous avons utilisé (18.37) pour obtenir la seconde expression. En l’absence
d’amortissement (Γ=0), la valeur moyenne de l’opérateur
a = e
−iH0t/ a e
iH0t/
est indépendante du temps. Si Γ =0 , nous déduisons de (18.38) l’équation
d’évolution pour sa valeur moyenne
d
dt
a =
d
dt
Tr (aρ)=
d
dt
Tr
a e
iH0t ρ e
−iH0t
=
d
dt
Tr (a ˜
ρ)=T r
a
d˜ ρ
dt
et donc
Tr
a
d˜ ρ
dt
=
Γ
2
Tr
2a
2 ˜
ρa
† − aa
† a˜ ρ − a˜ ρa
† a
=
Γ
2
Tr
[a
† ,a]aρ
= −
Γ
2
a
Nous en déduisons la loi de décroissance
a(t) = e
−Γt/2 a(t =0)
(18.39)
Un argument analogue montre que le nombre moyen d’occupation n(t)=
a
† a décroît avec un temps de relaxation 1/Γ (exercice 18.4.6)
n(t)=e
−Γt n(t =0)
(18.40)
Si l’état initial de l’oscillateur est un état cohérent (§ 11.2.1) |z à t =0 ,
l’évolution temporelle conduit à
|z→|ze
−iω0t e
−Γt/2
et l’état cohérent ne s’intrique pas avec son environnement, bien qu’il décroisse lentement (Γ ≪ ω 0 ) vers l’état du vide. En revanche, si l’on part d’une
superposition linéaire d’états cohérents |z 1 et |z 2
|Ψ =
1
√
2
|z 1 + |z 2