18. Systèmes quantiques ouverts
783
et comme V (t) vérifie la propriété V (t 1 + t 2 )=V (t 2 )V (t 1 ),o nd i tq u eV (t)
définit un semi-groupe dynamique.
10
Il est instructif de redémontrer les équations de Bloch (18.20) à partir de
la forme de Lindblad (18.33). Utilisant les expressions de l’exercice 18.4.2 de
M 0 et M 1 pour le modèle d’émission spontanée, nous pouvons écrire M 0 et
M 1 sous la forme
M 0 =
10
01−
Γ
2 ∆t
,M 1 =
0
√
Γ∆t
00
ou, en termes de matrices de Pauli,
M 0 = I −
Γ∆t
2
σ − σ + ,M 1 =
√
Γ∆tσ +
Les opérateurs K et L 1 sont donc
K =
Γ
2
σ − σ + ,L 1 =
√
Γ σ +
(18.34)
et nous retrouvons (18.20) à partir de (18.33).
18.2.3 Exemple : l’oscillateur harmonique amorti
Considérons un oscillateur harmonique, par exemple un mode d’une cavité
couplé au champ électromagnétique quantifié via les imperfections des miroirs,
en supposant pour simplifier que l’ensemble est à température nulle ; le cas
d’une température différente de zéro sera examiné au § 18.3.3. Si l’oscillateur
est initialement dans un état excité, il peut seulement perdre de l’énergie en
dégringolant les niveaux par émission spontanée de photons ; il ne peut pas
absorber de photons, car il n’y a pas de photons disponibles à température
nulle. Il existe donc un seul opérateur de saut quantique L 1 , qui doit être
proportionnel à l’opérateur d’annihilation a (il est utile de se souvenir de
l’analogie entre l’opérateur d’annihilation a (10.6) et σ + ; voir la note 7) :
L 1 =
√
Γ a
(18.35)
On peut alors écrire par inspection l’équation de Linblad, par comparaison
avec (18.22) :
dρ
dt
= −
i
[H 0 ,ρ]+
1
2
Γ
2aρa
† −{a
† a, ρ}
(18.36)
où H 0 = ω 0 a
† a est le hamiltonien libre. Dans cette démonstration, nous avons
raté la renormalisation radiative des niveaux d’énergie due à l’interaction entre
l’oscillateur et le champ quantifié, qui est appelé déplacement Lamb et qui sera
10. Semi-groupe parce que l’inverse de V (t) n’existe pas.
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et comme V (t) vérifie la propriété V (t 1 + t 2 )=V (t 2 )V (t 1 ),o nd i tq u eV (t)
définit un semi-groupe dynamique.
10
Il est instructif de redémontrer les équations de Bloch (18.20) à partir de
la forme de Lindblad (18.33). Utilisant les expressions de l’exercice 18.4.2 de
M 0 et M 1 pour le modèle d’émission spontanée, nous pouvons écrire M 0 et
M 1 sous la forme
M 0 =
10
01−
Γ
2 ∆t
,M 1 =
0
√
Γ∆t
00
ou, en termes de matrices de Pauli,
M 0 = I −
Γ∆t
2
σ − σ + ,M 1 =
√
Γ∆tσ +
Les opérateurs K et L 1 sont donc
K =
Γ
2
σ − σ + ,L 1 =
√
Γ σ +
(18.34)
et nous retrouvons (18.20) à partir de (18.33).
18.2.3 Exemple : l’oscillateur harmonique amorti
Considérons un oscillateur harmonique, par exemple un mode d’une cavité
couplé au champ électromagnétique quantifié via les imperfections des miroirs,
en supposant pour simplifier que l’ensemble est à température nulle ; le cas
d’une température différente de zéro sera examiné au § 18.3.3. Si l’oscillateur
est initialement dans un état excité, il peut seulement perdre de l’énergie en
dégringolant les niveaux par émission spontanée de photons ; il ne peut pas
absorber de photons, car il n’y a pas de photons disponibles à température
nulle. Il existe donc un seul opérateur de saut quantique L 1 , qui doit être
proportionnel à l’opérateur d’annihilation a (il est utile de se souvenir de
l’analogie entre l’opérateur d’annihilation a (10.6) et σ + ; voir la note 7) :
L 1 =
√
Γ a
(18.35)
On peut alors écrire par inspection l’équation de Linblad, par comparaison
avec (18.22) :
dρ
dt
= −
i
[H 0 ,ρ]+
1
2
Γ
2aρa
† −{a
† a, ρ}
(18.36)
où H 0 = ω 0 a
† a est le hamiltonien libre. Dans cette démonstration, nous avons
raté la renormalisation radiative des niveaux d’énergie due à l’interaction entre
l’oscillateur et le champ quantifié, qui est appelé déplacement Lamb et qui sera
10. Semi-groupe parce que l’inverse de V (t) n’existe pas.