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Physique quantique : Exercices et applications
et [K ∆t [ρ A (t)] − ρ A (t)] est du premier ordre en ∆t :
K ∆t [ρ A (t)] = ρ A (t)+O(∆t)
Il s’ensuit que l’un des M µ , que nous appellerons par convention M 0 ,d o i t
avoir un développement de la forme
M 0 (t)=I A +
−
i
H − K
∆t + O(∆t)
2
(18.29)
où H et K sont des opérateurs hermitiens. Dans ces conditions, le premier
terme de (18.28) s’écrit
M 0 (∆t)ρ A (t)M
†
0 (∆t)=ρ A (t) −
i∆t
[H, ρ A ] − ∆t{K, ρ A } + O(∆t)
2 (18.30)
L e sa u t r e st e r m e sd e( 1 8 . 2 8 )d o i v e n tê t r ed ’ o r d r e
√
∆t
M µ (∆t)=L µ
√
∆t
(18.31)
et la relation de fermeture (18.14) conduit à
I A = M
†
0 M 0 +
µ>0
M
†
µ M µ = I A − 2K∆t +
µ>0
L
†
µ L µ
∆t
qui implique
K =
1
2
µ>0
L
†
µ L µ
(18.32)
En combinant (18.30) et (18.32) et en supprimant désormais l’indice A de
ρ, nous aboutissons à l’équation de Lindblad pour l’opérateur statistique ρ
de A :
dρ
dt
= Lρ = −
i
[H, ρ] −
1
2
{K, ρ} +
µ>0
L µ ρL
†
µ
(18.33)
Les opérateurs L µ sont les opérateurs de sauts quantiques.A i n s iq u en o u s
l’avons déjà observé, ils décrivent la façon dont l’état de A est modifié par
une mesure effectuée sur l’environnement. L’équation (18.33) est la forme
la plus générale d’une équation pilote préservant la positivité de ρ si L est
un (super)opérateur borné, et donc en particulier pour un système et un
environnement décrits par un espace de Hilbert de dimension finie. Cependant,
la condition est suffisante mais pas nécessaire, et il existe des équations de
Lindblad parfaitement correctes comme (18.36), même lorsque L n’est pas
borné. Le superopérateur L est appelé le liouvillien. La solution de (18.33)
s’écrit formellement
ρ(t)=e
Lt ρ(t =0)=V (t)ρ(t =0)