18. Systèmes quantiques ouverts
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dépend seulement de ρ au temps t, et pas de sa valeur à des temps antérieurs
t
′
typique d’évolution de ρ,etτ ∗ ,letempstypiquederelaxationdelafonctionde
mémoire, avec τ ∗ ≪ τ . L’hypothèse de deux échelles de temps bien distinctes
est habituelle dans de nombreux problèmes de mécanique statistique hors
équilibre.
Examinons les conditions où nous pouvons espérer déduire une équation
pilote à partir de la représentation de Kraus. La première étape consiste à
utiliser une “granulation”
9 de ρ, sur un intervalle de temps typique ∆t tel que
τ ∗ ≪ ∆t ≪ τ
(18.26)
ρ(t) →
1
∆t
t+∆t
t
ρ(t
′ )dt
′
(18.27)
Cette granulation sert à lisser les fluctuations de ρ sur des temps ∼ τ ∗ , fluctuations qui sont incompatibles avec le caractère markovien. Nous écrivons
alors la représentation de Kraus pour l’évolution entre t et t +∆ t sous la
forme
dρ A
dt
≃
∆ρ A
∆t
=
1
∆t
ρ A (t +∆t) − ρ A (t)
=
1
∆t
K t,t+∆t [ρ A (t)] − ρ A (t)
Deux conditions doivent être satisfaites pour que la déduction de l’équation
pilote soit possible.
(i) L’opérateur statistique du système bipartite AE doit se factoriser approximativement au temps t sous la forme ρ AE (t) ≃ ρ A (t) ⊗ ρ E (t),
où ρ A (t)=T r E [ρ AE (t)] et ρ E (t)=T r A [ρ AE (t)]. Cette condition est
nécessaire pour que l’on puisse écrire une représentation de Kraus au
temps t +∆t.
(ii) Le superopérateur K t,t+∆t doit dépendre uniquement de ∆t,e tp a s
de t.
Nous donnerons des précisions supplémentaires sur ces deux conditions dans
la section suivante, dans le cadre d’un modèle spécifique pour E et de son
interaction avec A. Un énoncé général est que (i) et (ii) sont valables pourvu
que |W|τ ∗ / ≪ 1,o ù|W| est un élément de matrice typique de l’interaction
AE.
18.2.2 L’équation de Lindblad
Supposons que les conditions précédentes (i) et (ii) soient vérifiées. Nous
pouvons alors écrire d’après (18.14)
K ∆t [ρ A (t)] =
µ
M µ (∆t)ρ A (t)M
†
µ (∆t)
(18.28)
9. Traduction de “coarse graining”.
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dépend seulement de ρ au temps t, et pas de sa valeur à des temps antérieurs
t
′
typique d’évolution de ρ,etτ ∗ ,letempstypiquederelaxationdelafonctionde
mémoire, avec τ ∗ ≪ τ . L’hypothèse de deux échelles de temps bien distinctes
est habituelle dans de nombreux problèmes de mécanique statistique hors
équilibre.
Examinons les conditions où nous pouvons espérer déduire une équation
pilote à partir de la représentation de Kraus. La première étape consiste à
utiliser une “granulation”
9 de ρ, sur un intervalle de temps typique ∆t tel que
τ ∗ ≪ ∆t ≪ τ
(18.26)
ρ(t) →
1
∆t
t+∆t
t
ρ(t
′ )dt
′
(18.27)
Cette granulation sert à lisser les fluctuations de ρ sur des temps ∼ τ ∗ , fluctuations qui sont incompatibles avec le caractère markovien. Nous écrivons
alors la représentation de Kraus pour l’évolution entre t et t +∆ t sous la
forme
dρ A
dt
≃
∆ρ A
∆t
=
1
∆t
ρ A (t +∆t) − ρ A (t)
=
1
∆t
K t,t+∆t [ρ A (t)] − ρ A (t)
Deux conditions doivent être satisfaites pour que la déduction de l’équation
pilote soit possible.
(i) L’opérateur statistique du système bipartite AE doit se factoriser approximativement au temps t sous la forme ρ AE (t) ≃ ρ A (t) ⊗ ρ E (t),
où ρ A (t)=T r E [ρ AE (t)] et ρ E (t)=T r A [ρ AE (t)]. Cette condition est
nécessaire pour que l’on puisse écrire une représentation de Kraus au
temps t +∆t.
(ii) Le superopérateur K t,t+∆t doit dépendre uniquement de ∆t,e tp a s
de t.
Nous donnerons des précisions supplémentaires sur ces deux conditions dans
la section suivante, dans le cadre d’un modèle spécifique pour E et de son
interaction avec A. Un énoncé général est que (i) et (ii) sont valables pourvu
que |W|τ ∗ / ≪ 1,o ù|W| est un élément de matrice typique de l’interaction
AE.
18.2.2 L’équation de Lindblad
Supposons que les conditions précédentes (i) et (ii) soient vérifiées. Nous
pouvons alors écrire d’après (18.14)
K ∆t [ρ A (t)] =
µ
M µ (∆t)ρ A (t)M
†
µ (∆t)
(18.28)
9. Traduction de “coarse graining”.