780
Physique quantique : Exercices et applications
où
7 σ ± =(σ x ±iσ y )/2 (cf. 5.24)) et {A, B} désigne l’anti-commutateur (14.47)
de deux opérateurs A et B :
{A, B} = AB + BA
(18.21)
En fait, on peut ajouter à (18.21) une évolution unitaire comme dans (18.2) :
dρ
dt
= −
i
[H, ρ]+
Γ
2
2σ + ρσ − −{σ − σ + ,ρ}
(18.22)
Si le hamiltonien H est indépendant du temps, H = H 0 , par exemple comme
dans (18.1), il sera commode d’introduire le point de vue de l’interaction
˜
ρ(t)=e
iH0t/ ρ(t) e
−iH0t/
˜
σ ± (t)=e
iH0t/ σ ± e
−iH0t/ = e
∓iω0t σ ±
(18.23)
L’équation (18.22) est un exemple d’équation pilote sous la forme de Lindblad,
dont nous donnons maintenant une déduction générale.
Cet exemple, comme celui donné au § 18.1.2, montre que l’on peut passer
de la forme de Kraus (18.14) à l’équation pilote sous la forme de Lindblad
(18.22). Cependant, notre déduction dépendait de l’hypothèse cruciale (et
forte !) que la probabilité p était proportionnelle à ∆t. Dans le cas général, il
est loin d’être évident qu’il soit possible d’obtenir une équation différentielle
pour l’évolution non unitaire de ρ(t), parce que nous nous attendons à des
effets de mémoire. De l’information s’échappe depuis le système vers l’environnement, mais inversement de l’information passe aussi de l’environnement
vers le système. Schématiquement, une équation avec effets de mémoire prend
la forme d’une équation intégro-différentielle qui est non locale dans le temps :
dρ
dt
= −
t
−∞
γ(t − t
′ )ρ(t
′ )dt
′
(18.24)
où γ(t − t
′ ) est la fonction de mémoire, ou noyau de mémoire.
8 Si le temps
caractéristique de relaxation τ ∗ de γ(t − t
′ ) est beaucoup plus petit que le
temps typique τ d’évolution de ρ, τ ∗ ≪ τ , nous pouvons écrire (18.24) sous la
forme approchée
dρ
dt
≃−ρ(t)
t
−∞
γ(t
′ ) dt
′ = −Γ ρ(t)
(18.25)
et nous obtenons une équation pilote. L’approximation de mémoire courte
dans (18.25) est aussi appelée approximation markovienne :e ne ff e t ,d ρ/dt
7. Attention au fait que Nielsen et Chuang [2001] utilisent la convention opposée pour
σ ± . Nous avons choisi une convention compatible avec la définition (9.4) des opérateurs
moment angulaire J ± , et qui de plus est compatible avec celle de la théorie des champs, car
σ + (σ − ) est un opérateur de fréquence positive (négative) suivant la définition du § 17.4.1,
comme a (a † ) ; voir (17.18).
8. En général, (18.24) prend une forme matricielle, et des termes additionnels sont présents ; voir les références dans la bibliographie.
Physique quantique : Exercices et applications
où
7 σ ± =(σ x ±iσ y )/2 (cf. 5.24)) et {A, B} désigne l’anti-commutateur (14.47)
de deux opérateurs A et B :
{A, B} = AB + BA
(18.21)
En fait, on peut ajouter à (18.21) une évolution unitaire comme dans (18.2) :
dρ
dt
= −
i
[H, ρ]+
Γ
2
2σ + ρσ − −{σ − σ + ,ρ}
(18.22)
Si le hamiltonien H est indépendant du temps, H = H 0 , par exemple comme
dans (18.1), il sera commode d’introduire le point de vue de l’interaction
˜
ρ(t)=e
iH0t/ ρ(t) e
−iH0t/
˜
σ ± (t)=e
iH0t/ σ ± e
−iH0t/ = e
∓iω0t σ ±
(18.23)
L’équation (18.22) est un exemple d’équation pilote sous la forme de Lindblad,
dont nous donnons maintenant une déduction générale.
Cet exemple, comme celui donné au § 18.1.2, montre que l’on peut passer
de la forme de Kraus (18.14) à l’équation pilote sous la forme de Lindblad
(18.22). Cependant, notre déduction dépendait de l’hypothèse cruciale (et
forte !) que la probabilité p était proportionnelle à ∆t. Dans le cas général, il
est loin d’être évident qu’il soit possible d’obtenir une équation différentielle
pour l’évolution non unitaire de ρ(t), parce que nous nous attendons à des
effets de mémoire. De l’information s’échappe depuis le système vers l’environnement, mais inversement de l’information passe aussi de l’environnement
vers le système. Schématiquement, une équation avec effets de mémoire prend
la forme d’une équation intégro-différentielle qui est non locale dans le temps :
dρ
dt
= −
t
−∞
γ(t − t
′ )ρ(t
′ )dt
′
(18.24)
où γ(t − t
′ ) est la fonction de mémoire, ou noyau de mémoire.
8 Si le temps
caractéristique de relaxation τ ∗ de γ(t − t
′ ) est beaucoup plus petit que le
temps typique τ d’évolution de ρ, τ ∗ ≪ τ , nous pouvons écrire (18.24) sous la
forme approchée
dρ
dt
≃−ρ(t)
t
−∞
γ(t
′ ) dt
′ = −Γ ρ(t)
(18.25)
et nous obtenons une équation pilote. L’approximation de mémoire courte
dans (18.25) est aussi appelée approximation markovienne :e ne ff e t ,d ρ/dt
7. Attention au fait que Nielsen et Chuang [2001] utilisent la convention opposée pour
σ ± . Nous avons choisi une convention compatible avec la définition (9.4) des opérateurs
moment angulaire J ± , et qui de plus est compatible avec celle de la théorie des champs, car
σ + (σ − ) est un opérateur de fréquence positive (négative) suivant la définition du § 17.4.1,
comme a (a † ) ; voir (17.18).
8. En général, (18.24) prend une forme matricielle, et des termes additionnels sont présents ; voir les références dans la bibliographie.