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Physique quantique : Exercices et applications
Supposons maintenant que le saut quantique se passe dans un intervalle de
temps court ∆t, avec une probabilité proportionnelle
5 à ∆t : p =Γ ∆ t ≪ 1.
Écrivons t = n∆t, n ≫ 1, et effectuons n itérations de K :
K
n (ρ)=
ρ 00
(1 − p)
n ρ 01
(1 − p)
n ρ 10
ρ 11
→
ρ 00 ρ 01 e
−Γt
ρ 10 e
−Γt
ρ 11
(18.18)
Le temps de relaxation des cohérences (le temps de relaxation transverse T 2
de la RMN) est T 2 =1/Γ. Si le système à deux niveaux est préparé au temps
t =0dans un état pur qui est une superposition cohérente de |0 et |1
|ϕ = λ|0 + µ|1,ρ 00 =1− ρ 11 = |λ|
2 ,ρ 01 = ρ
∗
10 = λµ
∗
alors, après un temps t ≫ 1/Γ, l’état quantique est transformé en une superposition incohérente de |0 et |1 :
t ≫ 1/Γ: ρ(t) →|λ|
2 |00| + |µ|
2 |11|
Comme application, donnons une discussion heuristique de la décohérence
d’une superposition d’états quantiques distincts d’un système macroscopique.
Identifions |0 A et |1 A aux états propres de position |x et |−x (ou, de façon plus réaliste, à des superpositions de paquets d’ondes ne se recouvrant pas
centrés en x et −x), d’une “particule de poussière”,
6 qui diffuse élastiquement
des photons de son environnement initialement dans l’état |0 E . La diffusion
des particules de poussière localisées en |x (|−x) envoie les photons dans
l’état |1 E (|2 E ), tandis que la particule de poussière reste dans son état
initial. Si la distance 2|x| entre les centres des paquets d’ondes est suffisamment grande par rapport à longueur d’onde des photons diffusés, les états
|1 E et |2 E seront approximativement orthogonaux, 1 E |2 E ≃0,p a r c eq u e
la diffusion des photons est localisée dans l’espace. Nous sommes donc dans
la situation décrite par (18.15). Si la particule de poussière est initialement
dans une superposition cohérente de deux paquets d’ondes
|ϕ =
1
√
2
(|x + |−x)
la cohérence entre les paquets d’ondes sera détruite au bout d’un temps
∼ 1/Γ.L et a u xd ed é c o h é r e n c eΓ est proportionnel à la section efficace σ,
et une estimation grossière pour σ est σ ∝ R
2 ∝ M
2/3 ,o ùR est le rayon
de la particule de poussière et M sa masse. Le temps de décohérence τ dec est
proportionnel à M
−2/3
τ dec ≃
1
Γ
∝
1
M 2/3
5. Ceci est une hypothèse forte : en général, nous nous attendons à ce que les amplitudes
soient proportionnelles à ∆t si les transitions ont lieu vers un état isolé, voir (5.65). Il faut
une transition vers un continuum d’états comme dans la règle d’or de Fermi (8.152), pour
que les probabilités soient proportionnelles à ∆t.
6. Une particule de poussière est grande à l’échelle microscopique et petite à l’échelle
macroscopique.
Physique quantique : Exercices et applications
Supposons maintenant que le saut quantique se passe dans un intervalle de
temps court ∆t, avec une probabilité proportionnelle
5 à ∆t : p =Γ ∆ t ≪ 1.
Écrivons t = n∆t, n ≫ 1, et effectuons n itérations de K :
K
n (ρ)=
ρ 00
(1 − p)
n ρ 01
(1 − p)
n ρ 10
ρ 11
→
ρ 00 ρ 01 e
−Γt
ρ 10 e
−Γt
ρ 11
(18.18)
Le temps de relaxation des cohérences (le temps de relaxation transverse T 2
de la RMN) est T 2 =1/Γ. Si le système à deux niveaux est préparé au temps
t =0dans un état pur qui est une superposition cohérente de |0 et |1
|ϕ = λ|0 + µ|1,ρ 00 =1− ρ 11 = |λ|
2 ,ρ 01 = ρ
∗
10 = λµ
∗
alors, après un temps t ≫ 1/Γ, l’état quantique est transformé en une superposition incohérente de |0 et |1 :
t ≫ 1/Γ: ρ(t) →|λ|
2 |00| + |µ|
2 |11|
Comme application, donnons une discussion heuristique de la décohérence
d’une superposition d’états quantiques distincts d’un système macroscopique.
Identifions |0 A et |1 A aux états propres de position |x et |−x (ou, de façon plus réaliste, à des superpositions de paquets d’ondes ne se recouvrant pas
centrés en x et −x), d’une “particule de poussière”,
6 qui diffuse élastiquement
des photons de son environnement initialement dans l’état |0 E . La diffusion
des particules de poussière localisées en |x (|−x) envoie les photons dans
l’état |1 E (|2 E ), tandis que la particule de poussière reste dans son état
initial. Si la distance 2|x| entre les centres des paquets d’ondes est suffisamment grande par rapport à longueur d’onde des photons diffusés, les états
|1 E et |2 E seront approximativement orthogonaux, 1 E |2 E ≃0,p a r c eq u e
la diffusion des photons est localisée dans l’espace. Nous sommes donc dans
la situation décrite par (18.15). Si la particule de poussière est initialement
dans une superposition cohérente de deux paquets d’ondes
|ϕ =
1
√
2
(|x + |−x)
la cohérence entre les paquets d’ondes sera détruite au bout d’un temps
∼ 1/Γ.L et a u xd ed é c o h é r e n c eΓ est proportionnel à la section efficace σ,
et une estimation grossière pour σ est σ ∝ R
2 ∝ M
2/3 ,o ùR est le rayon
de la particule de poussière et M sa masse. Le temps de décohérence τ dec est
proportionnel à M
−2/3
τ dec ≃
1
Γ
∝
1
M 2/3
5. Ceci est une hypothèse forte : en général, nous nous attendons à ce que les amplitudes
soient proportionnelles à ∆t si les transitions ont lieu vers un état isolé, voir (5.65). Il faut
une transition vers un continuum d’états comme dans la règle d’or de Fermi (8.152), pour
que les probabilités soient proportionnelles à ∆t.
6. Une particule de poussière est grande à l’échelle microscopique et petite à l’échelle
macroscopique.