18. Systèmes quantiques ouverts
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La représentation de Kraus n’est pas unique, mais deux représentations
sont nécessairement reliées par une transformation unitaire : si
K(ρ)=
K−1
µ=0
M µ ρM
†
µ =
L−1
µ=0
N µ ρN
†
µ
alors N ν est relié à M µ par une transformation unitaire
N ν =
µ
U νµ M µ
Comme certains éléments de matrice de U νµ peuvent s’annuler, le nombre de
termes non nuls n’est pas nécessairement identique dans les deux décompositions : il n’est pas obligatoire que K = L.
18.1.2 Modèle pour l’amortissement de phase
Il est instructif d’appliquer la notion de superopérateur à un exemple déjà
introduit au § 11.4.2, celui de l’amortissement de phase. Un autre exemple
traité au chapitre 11, celui de l’émission spontanée, est examiné à l’exercice 18.4.2 dans le cadre de la représentation de Kraus. L’espace H E est choisi
de dimension 3, et l’évolution unitaire (saut quantique) est supposée de la
forme
U AE |0 A ⊗ 0 E =
1 − p |0 A ⊗ 0 E +
√
p |0 A ⊗ 1 E
U AE |1 A ⊗ 0 E =
1 − p |1 A ⊗ 0 E +
√
p |1 A ⊗ 2 E
(18.15)
Autrement dit, l’environnement reste dans |0 E avec la probabilité 1 − p,e t
il passe dans un autre état qui dépend de celui de A avec la probabilité p.L a
représentation de Kraus suit immédiatement de (18.13) :
M 0 =
1 − p I,
M 1 =
√
p
10
00
,M 2 =
√
p
00
01
(18.16)
et la matrice statistique transformée est
K(ρ)=(1− p)ρ + p
ρ 00 0
0 ρ 11
=
ρ 00
(1 − p)ρ 01
(1 − p)ρ 10
ρ 11
(18.17)
On note que cette transformation affecte uniquement les cohérences (les éléments de matrice non diagonaux de ρ), d’où la terminologie “amortissement
de phase”. De plus, si nous appliquons K deux fois, il vient
K
2 (ρ)=K[K(ρ)] =
ρ 00
(1 − p)
2 ρ 01
(1 − p)
2 ρ 10
ρ 11