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Physique quantique : Exercices et applications
Pour conclure cette sous-section, énonçons quelques résultats généraux sur
la représentation de Kraus. Comme certaines preuves sont assez techniques,
nous les omettrons en renvoyant le lecteur à la bibliographie
3 .U n eq u e s t i o n
intéressante est la suivante : quelles sont les conditions “raisonnables” nécessaires pour prouver la représentation (18.11) ? A priori, il semblerait que l’on
doive imposer les conditions suivantes.
(i) K doit être une opération linéaire
4 .
K(λρ A + µρ B )=λK(ρ A )+µK(ρ B )
(ii) K(ρ A ) doit être hermitien.
K(ρ A )=[K(ρ A )]
†
(iii) K doit conserver la trace : Tr[K(ρ A )] = 1.
(iv) K(ρ A ) doit être un opérateur positif : K(ρ A ) ≥ 0.
Mais la condition (iv) est en fait trop faible. Supposons que A soit couplé à
un environnement E et qu’il existe un autre système C auquel A a été couplé
dans un passé lointain. Si A évolue et C ne le fait pas, alors K(ρ A ) ⊗ I C doit
être un opérateur positif. Il en résulte que K(ρ A ) doit obéir à une condition
(iv
′ ) plus forte que (iv)
(iv
′ ) K(ρ A ) est complètement positif : K(ρ A ) ⊗ I C ≥ 0, pour tout système C.
Un exemple d’opérateur qui obéit aux conditions (i) à (iii), mais non à
(iv
′ ), est la transposition (exercice 17.4.1)
K(ρ A )=ρ
T
A
Nous pouvons maintenant énoncer sans démonstration le théorème de représentation de Kraus : toute opération ρ →K (ρ) dans un espace de dimension d A qui obéit aux conditions (i) à (iii) et (iv’) peut s’écrire sous la forme
K(ρ)=
K−1
µ=0
M µ ρM
†
µ ,
K−1
µ=0
M
†
µ M µ = I
(18.14)
où on peut toujours choisir (K −1) ≤ d
2
A , d A étant la dimension de H A ; K est
le nombre de Kraus. Il existe toujours une expression pour K(ρ) comprenant
un nombre de termes ≤ d
2
A , indépendamment de la dimension de l’espace de
Hilbert H E de l’environnement, même si cette dimension est infinie.
3. Voir par exemple Haroche et Raimond [2006], chapitre 4, ou Breuer et Petruccione [2002], chapitre 3.
4. Voir cependant Preskill [1999], section 3.2, pour une discussion de la linéarité ; les
arguments selon lesquels une évolution non linéaire doit être exclue ne sont pas entièrement
incontournables.
Physique quantique : Exercices et applications
Pour conclure cette sous-section, énonçons quelques résultats généraux sur
la représentation de Kraus. Comme certaines preuves sont assez techniques,
nous les omettrons en renvoyant le lecteur à la bibliographie
3 .U n eq u e s t i o n
intéressante est la suivante : quelles sont les conditions “raisonnables” nécessaires pour prouver la représentation (18.11) ? A priori, il semblerait que l’on
doive imposer les conditions suivantes.
(i) K doit être une opération linéaire
4 .
K(λρ A + µρ B )=λK(ρ A )+µK(ρ B )
(ii) K(ρ A ) doit être hermitien.
K(ρ A )=[K(ρ A )]
†
(iii) K doit conserver la trace : Tr[K(ρ A )] = 1.
(iv) K(ρ A ) doit être un opérateur positif : K(ρ A ) ≥ 0.
Mais la condition (iv) est en fait trop faible. Supposons que A soit couplé à
un environnement E et qu’il existe un autre système C auquel A a été couplé
dans un passé lointain. Si A évolue et C ne le fait pas, alors K(ρ A ) ⊗ I C doit
être un opérateur positif. Il en résulte que K(ρ A ) doit obéir à une condition
(iv
′ ) plus forte que (iv)
(iv
′ ) K(ρ A ) est complètement positif : K(ρ A ) ⊗ I C ≥ 0, pour tout système C.
Un exemple d’opérateur qui obéit aux conditions (i) à (iii), mais non à
(iv
′ ), est la transposition (exercice 17.4.1)
K(ρ A )=ρ
T
A
Nous pouvons maintenant énoncer sans démonstration le théorème de représentation de Kraus : toute opération ρ →K (ρ) dans un espace de dimension d A qui obéit aux conditions (i) à (iii) et (iv’) peut s’écrire sous la forme
K(ρ)=
K−1
µ=0
M µ ρM
†
µ ,
K−1
µ=0
M
†
µ M µ = I
(18.14)
où on peut toujours choisir (K −1) ≤ d
2
A , d A étant la dimension de H A ; K est
le nombre de Kraus. Il existe toujours une expression pour K(ρ) comprenant
un nombre de termes ≤ d
2
A , indépendamment de la dimension de l’espace de
Hilbert H E de l’environnement, même si cette dimension est infinie.
3. Voir par exemple Haroche et Raimond [2006], chapitre 4, ou Breuer et Petruccione [2002], chapitre 3.
4. Voir cependant Preskill [1999], section 3.2, pour une discussion de la linéarité ; les
arguments selon lesquels une évolution non linéaire doit être exclue ne sont pas entièrement
incontournables.