18. Systèmes quantiques ouverts
775
(i) ρ
′
A doit être hermitien, ce qui est manifestement le cas ;
(ii) on doit avoir Tr ρ
′
A =1, ce qui résulte de (18.12) ;
(iii) ρ
′
A doit être positif, et de fait avec |ψ
µ
A = M
†
µ |ϕ A
ϕ A |ρ
′
A |ϕ A =
µ
(ϕ A |M µ )ρ A (M
†
µ |ϕ A )=
µ
ψ
µ
A |ρ A |ψ
µ
A ≥0
Inversement, toute représentation du type (18.11) peut toujours se déduire
d’une représentation unitaire dans un certain espace de Hilbert H A ⊗H E ,c e
que nous allons montrer. Choisissons comme espace H E un espace de Hilbert
dont la dimension est au moins égale au nombre de termes dans (18.11), soit
{|µ E } une base orthonormale dans H E et |0 E un vecteur de cette base.
Définissons l’action de U AE sur le vecteur |ϕ A ⊗ 0 E ,o ù|ϕ A est un vecteur
arbitraire H A , de la façon suivante
U AE |ϕ A ⊗ 0 E =
µ
(M µ ⊗ I E )|ϕ A ⊗ µ E
(18.13)
L’équation (18.13) décrit un saut quantique : dans l’intervalle de temps [0,t],
le système AE “saute” de l’état |ϕ A ⊗0 E à une superposition d’états M µ |ϕ A ⊗
µ E . L’interpétation physique de cette équation est importante : supposons
que nous effectuions une mesure de l’environnement et que le résultat soit |µ.
Alors, après la mesure, le système A se trouve dans l’état M µ |ϕ A :l es a u t
quantique décrit l’évolution de A sous l’effet d’une mesure de l’environnement
(voir § 11.4.3 pour un exemple). L’opérateur U AE conserve le produit scalaire
µ
ψ A ⊗ µ E |[M
†
µ ⊗ I B ]
ν
[M ν ⊗ I E ]|ϕ A ⊗ ν E
= ψ A |
µ
M
†
µ M µ
|ϕ A
= ψ A |ϕ A
et par conséquent U AE , qui est défini a priori seulement sur des vecteurs
particuliers de H A ⊗H E , peut être prolongé comme opérateur unitaire sur
H A ⊗H E . Prenant la trace partielle, on trouve
Tr E
U AE |ϕ A ⊗ 0 E ϕ A ⊗ 0 E |U
†
AE
=
µ
M µ |ϕ A ϕ A |M
†
µ
de sorte que tout opérateur statistique ρ A , qui peut être écrit comme
i p i |ϕ
i
A ϕ
i
A |, se transforme suivant (18.11). Nous verrons ultérieurement
que toute loi d’évolution “raisonnable” pour ρ A est de la forme (18.11). Le
fait que l’on puisse toujours trouver une représentation unitaire (18.13) est
à première vue quelque peu surprenant, car en principe les systèmes A et E
sont intriqués à t =0, de sorte que supposer un état initial de la forme (18.7)
semble une hypothèse très forte. Mais il semble que, si le seul objectif est de
décrire l’évolution de ρ A , il est toujours possible de trouver un environnement
fictif tel qu’il n’y ait pas d’intrication entre le système et son environnement
à t =0.
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(i) ρ
′
A doit être hermitien, ce qui est manifestement le cas ;
(ii) on doit avoir Tr ρ
′
A =1, ce qui résulte de (18.12) ;
(iii) ρ
′
A doit être positif, et de fait avec |ψ
µ
A = M
†
µ |ϕ A
ϕ A |ρ
′
A |ϕ A =
µ
(ϕ A |M µ )ρ A (M
†
µ |ϕ A )=
µ
ψ
µ
A |ρ A |ψ
µ
A ≥0
Inversement, toute représentation du type (18.11) peut toujours se déduire
d’une représentation unitaire dans un certain espace de Hilbert H A ⊗H E ,c e
que nous allons montrer. Choisissons comme espace H E un espace de Hilbert
dont la dimension est au moins égale au nombre de termes dans (18.11), soit
{|µ E } une base orthonormale dans H E et |0 E un vecteur de cette base.
Définissons l’action de U AE sur le vecteur |ϕ A ⊗ 0 E ,o ù|ϕ A est un vecteur
arbitraire H A , de la façon suivante
U AE |ϕ A ⊗ 0 E =
µ
(M µ ⊗ I E )|ϕ A ⊗ µ E
(18.13)
L’équation (18.13) décrit un saut quantique : dans l’intervalle de temps [0,t],
le système AE “saute” de l’état |ϕ A ⊗0 E à une superposition d’états M µ |ϕ A ⊗
µ E . L’interpétation physique de cette équation est importante : supposons
que nous effectuions une mesure de l’environnement et que le résultat soit |µ.
Alors, après la mesure, le système A se trouve dans l’état M µ |ϕ A :l es a u t
quantique décrit l’évolution de A sous l’effet d’une mesure de l’environnement
(voir § 11.4.3 pour un exemple). L’opérateur U AE conserve le produit scalaire
µ
ψ A ⊗ µ E |[M
†
µ ⊗ I B ]
ν
[M ν ⊗ I E ]|ϕ A ⊗ ν E
= ψ A |
µ
M
†
µ M µ
|ϕ A
= ψ A |ϕ A
et par conséquent U AE , qui est défini a priori seulement sur des vecteurs
particuliers de H A ⊗H E , peut être prolongé comme opérateur unitaire sur
H A ⊗H E . Prenant la trace partielle, on trouve
Tr E
U AE |ϕ A ⊗ 0 E ϕ A ⊗ 0 E |U
†
AE
=
µ
M µ |ϕ A ϕ A |M
†
µ
de sorte que tout opérateur statistique ρ A , qui peut être écrit comme
i p i |ϕ
i
A ϕ
i
A |, se transforme suivant (18.11). Nous verrons ultérieurement
que toute loi d’évolution “raisonnable” pour ρ A est de la forme (18.11). Le
fait que l’on puisse toujours trouver une représentation unitaire (18.13) est
à première vue quelque peu surprenant, car en principe les systèmes A et E
sont intriqués à t =0, de sorte que supposer un état initial de la forme (18.7)
semble une hypothèse très forte. Mais il semble que, si le seul objectif est de
décrire l’évolution de ρ A , il est toujours possible de trouver un environnement
fictif tel qu’il n’y ait pas d’intrication entre le système et son environnement
à t =0.