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Physique quantique : Exercices et applications
où nous avons fait explicitement usage de la forme particulière (18.7) de l’opérateur statistique initial ρ AE . Les éléments de matrice de U AE sont
U
AE
mµ;nν = m A ⊗ µ E |U AE |n A ⊗ ν E .
L’équation (18.9) peut être écrite en fonction de l’opérateur M µ qui agit dans
H A défini par
M µ = µ E |U AE |0 E
(18.10)
Écrivant ρ
′
A = K(ρ A ), (18.9) devient (figure 18.1)
K(ρ A )=
µ
M µ ρ A M
†
µ
(18.11)
U AE
A
U A
A
A = ( A )
A = U A A U A
(b)
(a)
0 E 0 E
Fig. 18.1 – Représentation graphique (a) d’une évolution unitaire, (b) de l’évolution
(18.11).
L’unitarité de U AE implique que l’ensemble des opérateurs M µ vérifie la relation de fermeture (il faut noter l’ordre des opérateurs :
µ M µ M
†
µ n’a pas
d’expression simple dans le cas général)
µ
M
†
µ M µ =
µ
0 E |U
†
AE |µ E µ E |U AE |0 B = I A
(18.12)
L’équation (18.11) est la représentation de Kraus de ρ
′
A . Cette représentation
de Kraus, jointe à la relation de fermeture (18.12), définit une application
linéaire ρ A → ρ
′
A = K(ρ A ). K est appelé superopérateur, car il agit dans
l’espace vectoriel des opérateurs : les opérateurs F i sur H A forment un espace vectoriel et un produit scalaire (•, •) peut être défini sur cet espace par
(F i ,F j )=T r[F
†
i F j ].S iH A est de dimension infinie, il faut se restreindre aux
opérateurs de Hilbert-Schmidt F tels que Tr [F
† F ] existe.
L’opérateur ρ
′
A doit obéir aux trois conditions suivantes pour être un opérateur statistique respectable :
Physique quantique : Exercices et applications
où nous avons fait explicitement usage de la forme particulière (18.7) de l’opérateur statistique initial ρ AE . Les éléments de matrice de U AE sont
U
AE
mµ;nν = m A ⊗ µ E |U AE |n A ⊗ ν E .
L’équation (18.9) peut être écrite en fonction de l’opérateur M µ qui agit dans
H A défini par
M µ = µ E |U AE |0 E
(18.10)
Écrivant ρ
′
A = K(ρ A ), (18.9) devient (figure 18.1)
K(ρ A )=
µ
M µ ρ A M
†
µ
(18.11)
U AE
A
U A
A
A = ( A )
A = U A A U A
(b)
(a)
0 E 0 E
Fig. 18.1 – Représentation graphique (a) d’une évolution unitaire, (b) de l’évolution
(18.11).
L’unitarité de U AE implique que l’ensemble des opérateurs M µ vérifie la relation de fermeture (il faut noter l’ordre des opérateurs :
µ M µ M
†
µ n’a pas
d’expression simple dans le cas général)
µ
M
†
µ M µ =
µ
0 E |U
†
AE |µ E µ E |U AE |0 B = I A
(18.12)
L’équation (18.11) est la représentation de Kraus de ρ
′
A . Cette représentation
de Kraus, jointe à la relation de fermeture (18.12), définit une application
linéaire ρ A → ρ
′
A = K(ρ A ). K est appelé superopérateur, car il agit dans
l’espace vectoriel des opérateurs : les opérateurs F i sur H A forment un espace vectoriel et un produit scalaire (•, •) peut être défini sur cet espace par
(F i ,F j )=T r[F
†
i F j ].S iH A est de dimension infinie, il faut se restreindre aux
opérateurs de Hilbert-Schmidt F tels que Tr [F
† F ] existe.
L’opérateur ρ
′
A doit obéir aux trois conditions suivantes pour être un opérateur statistique respectable :