18. Systèmes quantiques ouverts
773
nous avons maintenant deux temps de relaxation indépendants
1 , tandis que
dans ces équations nous avions Γ 2 =Γ 1 /2=Γ/2. Dans le cas de la RMN, T 1
est de l’ordre de la seconde, et T 2 < ∼ T 1 (avec T 2 ≪ T 1 dans la plupart des
cas, par exemple T 2 ∼ 1 ms et T 1 ∼ 1 s, voir Levitt [2001]).
Le plan du chapitre est le suivant : dans la section 18.1, nous établissons
la forme de Kraus de l’opérateur statistique réduit au temps t en fonction de
son expression à t =0 . Dans la section 18.2, nous étudions le cas particulier important où l’on peut écrire une équation différentielle du premier ordre
pour l’évolution de l’opérateur statistique réduit, ou équation pilote du type
de Lindblad. Finalement, dans la section 18.3, nous étudierons deux modèles
où l’environnement est constitué d’un bain thermique d’oscillateurs harmoniques indépendants : le premier système couplé à cet environnement sera un
système à deux niveaux typique des sytèmes rencontrés en optique quantique,
et le second une particule brownienne. Ce dernier cas sera particulièrement
intéressant dans la mesure où il nous permettra de comprendre le phénomène
de décohérence pour la superposition de deux paquets d’onde dans le cas de
particules lourdes.
18.1 Superopérateurs
18.1.1 Représentation de Kraus
Dans cette section, nous allons essayer de répondre à la question suivante :
si un état de H A ⊗H E subit une évolution unitaire U AE entre t =0et t, quelle
est l’expression au temps t de l’opérateur statistique de A ? La réponse est
donnée par la représentation de Kraus que nous allons maintenant établir.
Nous supposons que le système et l’environnement ont été découplés jusqu’à
t =0 , et à cet instant l’opérateur statistique global est un produit tensoriel
ρ AE = ρ A ⊗ ρ E . Il sera commode de supposer en outre que ρ E est de la
forme |0 E 0 E | : cette supposition n’enlève rien à la généralité, en raison de
la linéarité des résultats. Nous avons donc à t =0
ρ AE (t =0)=ρ A ⊗ ρ E = ρ A ⊗|0 E 0 E |
(18.7)
Le système bipartite AE évolue pendant l’intervalle de temps t suivant
ρ AE (t =0)≡ ρ AE → ρ AE (t) ≡ ρ
′
AE = U AE ρ AE U
†
AE
(18.8)
où U AE est obtenu en résolvant (11.33) dans H A ⊗H E . Pour trouver l’opérateur statistique ρ A (t)=ρ
′
A du système A, on effectue une trace partielle
2
ρ
′A
mn =
µ,k,l
U
AE
mµ;k0 ρ
A
kl (U
AE )
†
l0;nµ
(18.9)
1. On rencontre aussi des équations de Bloch avec deux temps de relaxation indépendants
dans la physique des lasers ; voir par exemple Mandel and Wolf [1995], chapitre 18.
2. Pour la clarté des notations, nous écrivons AE en exposant dans les éléments de
matrice.
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nous avons maintenant deux temps de relaxation indépendants
1 , tandis que
dans ces équations nous avions Γ 2 =Γ 1 /2=Γ/2. Dans le cas de la RMN, T 1
est de l’ordre de la seconde, et T 2 < ∼ T 1 (avec T 2 ≪ T 1 dans la plupart des
cas, par exemple T 2 ∼ 1 ms et T 1 ∼ 1 s, voir Levitt [2001]).
Le plan du chapitre est le suivant : dans la section 18.1, nous établissons
la forme de Kraus de l’opérateur statistique réduit au temps t en fonction de
son expression à t =0 . Dans la section 18.2, nous étudions le cas particulier important où l’on peut écrire une équation différentielle du premier ordre
pour l’évolution de l’opérateur statistique réduit, ou équation pilote du type
de Lindblad. Finalement, dans la section 18.3, nous étudierons deux modèles
où l’environnement est constitué d’un bain thermique d’oscillateurs harmoniques indépendants : le premier système couplé à cet environnement sera un
système à deux niveaux typique des sytèmes rencontrés en optique quantique,
et le second une particule brownienne. Ce dernier cas sera particulièrement
intéressant dans la mesure où il nous permettra de comprendre le phénomène
de décohérence pour la superposition de deux paquets d’onde dans le cas de
particules lourdes.
18.1 Superopérateurs
18.1.1 Représentation de Kraus
Dans cette section, nous allons essayer de répondre à la question suivante :
si un état de H A ⊗H E subit une évolution unitaire U AE entre t =0et t, quelle
est l’expression au temps t de l’opérateur statistique de A ? La réponse est
donnée par la représentation de Kraus que nous allons maintenant établir.
Nous supposons que le système et l’environnement ont été découplés jusqu’à
t =0 , et à cet instant l’opérateur statistique global est un produit tensoriel
ρ AE = ρ A ⊗ ρ E . Il sera commode de supposer en outre que ρ E est de la
forme |0 E 0 E | : cette supposition n’enlève rien à la généralité, en raison de
la linéarité des résultats. Nous avons donc à t =0
ρ AE (t =0)=ρ A ⊗ ρ E = ρ A ⊗|0 E 0 E |
(18.7)
Le système bipartite AE évolue pendant l’intervalle de temps t suivant
ρ AE (t =0)≡ ρ AE → ρ AE (t) ≡ ρ
′
AE = U AE ρ AE U
†
AE
(18.8)
où U AE est obtenu en résolvant (11.33) dans H A ⊗H E . Pour trouver l’opérateur statistique ρ A (t)=ρ
′
A du système A, on effectue une trace partielle
2
ρ
′A
mn =
µ,k,l
U
AE
mµ;k0 ρ
A
kl (U
AE )
†
l0;nµ
(18.9)
1. On rencontre aussi des équations de Bloch avec deux temps de relaxation indépendants
dans la physique des lasers ; voir par exemple Mandel and Wolf [1995], chapitre 18.
2. Pour la clarté des notations, nous écrivons AE en exposant dans les éléments de
matrice.