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Physique quantique : Exercices et applications
ω 0 est donc la différence d’énergie entre l’état fondamental |0 et l’état excité
|1. Les éléments de matrice ρ 00 et ρ 11 =1− ρ 00 de l’opérateur statistique
décrivent les populations des états |0 et |1, tandis que ρ 01 et ρ
∗
10 (ρ 01 = ρ
∗
10 )
décrivent les cohérences. À l’équilibre thermique et à la température T ,l e s
populations ρ
eq
00 et ρ
eq
11 sont déterminées par la loi de Boltzmann
ρ
eq
11
ρ
eq
00
=exp
−
ω 0
k B T
(18.3)
Afin de fixer les idées, nous reprenons le cas de la RMN (section 5.2). Si
les spins des protons étaient isolés, leur évolution temporelle serait régie par
(11.33), avec un hamiltonien dépendant du champ magnétique constant
B 0
et du champ de radiofréquences
B 1 (t). Comme au § 15.3.1, il est commode
d’utiliser le vecteur de Bloch b =( u, v, −w) (15.39) ; w =( ρ 11 − ρ 00 ) décrit
la différence de populations et (u, v) les cohérences, ρ 01 = r =( u − iv)/2.S i
les spins étaient isolés, l’équation d’évolution (11.33) de ρ avec le hamiltonien
(5.26) serait, en termes de populations et de cohérences
˙
w = iω 1
r
∗ e
iωt − r e
−iωt
˙
r = iω 0 r +
iω 1
2
w e
iωt
(18.4)
où ω 1 est la fréquence de Rabi. Les légères différences avec (15.42)–(15.43)
disparaissent à l’approximation séculaire. Afin de prendre en compte l’environnement de façon phénoménologique, nous suivons le § 15.3.1 en ajoutant
deux termes de relaxation
˙
w = iω 1
r
∗ e
iωt − r e
−iωt
− Γ 1 (w − w eq )
˙
r = iω 0 r +
iω 1
2
w e
iωt − Γ 2 r
(18.5)
Ces équations sont les équations de Bloch de la RMN. La forme du terme
de relaxation n’est pas la plus générale possible, mais les approximations
conduisant à (18.5) sont généralement justifiées : voir les commentaires suivant
(18.68). Afin de donner une interprétation physique aux termes de relaxation,
supposons que le champ de radiofréquences a été coupé à t =0,d es o r t eq u e
ω 1 =0pour t>0. La solution de (18.5) est alors
w(t) − w eq =(w(t =0)− w eq ) e
−Γ1t
r(t)=r(t =0)e
iω0t e
−Γ2t
(18.6)
Les populations reviennent à l’équilibre avec un temps de relaxation T 1 =
1/Γ 1 , le temps de relaxation longitudinale, et les cohérences avec un temps
de relaxation T 2 =1 /Γ 2 , le temps de relaxation transverse, introduits dans
la section 5.2. La différence principale par rapport à (15.44)–(15.45) est que
Physique quantique : Exercices et applications
ω 0 est donc la différence d’énergie entre l’état fondamental |0 et l’état excité
|1. Les éléments de matrice ρ 00 et ρ 11 =1− ρ 00 de l’opérateur statistique
décrivent les populations des états |0 et |1, tandis que ρ 01 et ρ
∗
10 (ρ 01 = ρ
∗
10 )
décrivent les cohérences. À l’équilibre thermique et à la température T ,l e s
populations ρ
eq
00 et ρ
eq
11 sont déterminées par la loi de Boltzmann
ρ
eq
11
ρ
eq
00
=exp
−
ω 0
k B T
(18.3)
Afin de fixer les idées, nous reprenons le cas de la RMN (section 5.2). Si
les spins des protons étaient isolés, leur évolution temporelle serait régie par
(11.33), avec un hamiltonien dépendant du champ magnétique constant
B 0
et du champ de radiofréquences
B 1 (t). Comme au § 15.3.1, il est commode
d’utiliser le vecteur de Bloch b =( u, v, −w) (15.39) ; w =( ρ 11 − ρ 00 ) décrit
la différence de populations et (u, v) les cohérences, ρ 01 = r =( u − iv)/2.S i
les spins étaient isolés, l’équation d’évolution (11.33) de ρ avec le hamiltonien
(5.26) serait, en termes de populations et de cohérences
˙
w = iω 1
r
∗ e
iωt − r e
−iωt
˙
r = iω 0 r +
iω 1
2
w e
iωt
(18.4)
où ω 1 est la fréquence de Rabi. Les légères différences avec (15.42)–(15.43)
disparaissent à l’approximation séculaire. Afin de prendre en compte l’environnement de façon phénoménologique, nous suivons le § 15.3.1 en ajoutant
deux termes de relaxation
˙
w = iω 1
r
∗ e
iωt − r e
−iωt
− Γ 1 (w − w eq )
˙
r = iω 0 r +
iω 1
2
w e
iωt − Γ 2 r
(18.5)
Ces équations sont les équations de Bloch de la RMN. La forme du terme
de relaxation n’est pas la plus générale possible, mais les approximations
conduisant à (18.5) sont généralement justifiées : voir les commentaires suivant
(18.68). Afin de donner une interprétation physique aux termes de relaxation,
supposons que le champ de radiofréquences a été coupé à t =0,d es o r t eq u e
ω 1 =0pour t>0. La solution de (18.5) est alors
w(t) − w eq =(w(t =0)− w eq ) e
−Γ1t
r(t)=r(t =0)e
iω0t e
−Γ2t
(18.6)
Les populations reviennent à l’équilibre avec un temps de relaxation T 1 =
1/Γ 1 , le temps de relaxation longitudinale, et les cohérences avec un temps
de relaxation T 2 =1 /Γ 2 , le temps de relaxation transverse, introduits dans
la section 5.2. La différence principale par rapport à (15.44)–(15.45) est que