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Physique quantique : Exercices et applications
magnétique quantifié B,a v e c
μ =
1
2
μ N (γ p σ p + γ n σ n )
=
1
4
μ N [(γ p + γ n )( σ p + σ n )+(γ p − γ n )( σ p − σ n )]
(17.177)
où μ N = q p /(2M ) ; γ p ≃ 5.59 et γ n ≃− 3.83 sont liés aux facteurs gyromagnétiques du proton et du neutron et σ sont les matrices de Pauli. Montrer
que le couplage avec le champ électromagnétique quantifié responsable de la
réaction est
W
′ = −
i
c
ω
2ε 0 V
μ · [ ˆ
k × e
∗
λ ( k)]a
†
kλ
e
−i k· r
où le photon a un vecteur d’onde k, une fréquence ω = ck, ˆ
k = k/k, e λ est
un vecteur de polarisation unitaire que l’on pourra prendre réel et V est le
volume de normalisation. En négligeant le recul du deutéron et en remarquant
que l’énergie des neutrons incidents ε ≪ B,c a l c u l e rk en fm
−1 et en déduire
que l’on peut faire l’approximation exp(−i k · r) ≃ 1.
3. Justifier les différents facteurs dans l’expression ci-dessous de la section
efficace, où Ω repère la direction d’émission k du photon et F est le flux de
neutrons incidents
dσ
dΩ
=
2π
F
||f |W |i|
2 δ(ω − (E i − E f ))
Vω
2 dω
(2π) 3 c 3
avec
W = −
i
c
ω
2ε 0 V
μ · e
′
λ ( k)
e
′
λ ( k)= ˆ
k × e λ
|i = état n-p initial, |f = état du deutéron.
4. L’élément de matrice f |W |i se décompose en une partie de spin et
une partie spatiale, car le vecteur d’état total Ψ i,f est le produit d’un vecteur
d’état de spin χ i,f par une fonction d’onde spatiale ψ i,f ( r)
Ψ i,f = ψ i,f ( r) χ i,f
(a) Si χ
m
t , m = ±1, 0 et χ s désignent les états triplet et singulet de spin, la
partie spin de f |W |i sera
W spin =
1
4
μ N χ f |(γ p + γ n )( σ p + σ n ) · e
′
λ +(γ p − γ n )( σ p − σ n ) · e
′
λ |χ i
où χ f = χ
m
t et χ i = χ
m
t ou χ s .M o n t r e rq u e
( σ p + σ n )|χ s =0
χ s | σ p |χ s =0
(b) La partie spatiale fait intervenir l’intégrale
I fi =
d
3 rψ
∗
f ( r)ψ i ( r)=
d
3 rψ
∗
D ( r)ψ i ( r)
Physique quantique : Exercices et applications
magnétique quantifié B,a v e c
μ =
1
2
μ N (γ p σ p + γ n σ n )
=
1
4
μ N [(γ p + γ n )( σ p + σ n )+(γ p − γ n )( σ p − σ n )]
(17.177)
où μ N = q p /(2M ) ; γ p ≃ 5.59 et γ n ≃− 3.83 sont liés aux facteurs gyromagnétiques du proton et du neutron et σ sont les matrices de Pauli. Montrer
que le couplage avec le champ électromagnétique quantifié responsable de la
réaction est
W
′ = −
i
c
ω
2ε 0 V
μ · [ ˆ
k × e
∗
λ ( k)]a
†
kλ
e
−i k· r
où le photon a un vecteur d’onde k, une fréquence ω = ck, ˆ
k = k/k, e λ est
un vecteur de polarisation unitaire que l’on pourra prendre réel et V est le
volume de normalisation. En négligeant le recul du deutéron et en remarquant
que l’énergie des neutrons incidents ε ≪ B,c a l c u l e rk en fm
−1 et en déduire
que l’on peut faire l’approximation exp(−i k · r) ≃ 1.
3. Justifier les différents facteurs dans l’expression ci-dessous de la section
efficace, où Ω repère la direction d’émission k du photon et F est le flux de
neutrons incidents
dσ
dΩ
=
2π
F
||f |W |i|
2 δ(ω − (E i − E f ))
Vω
2 dω
(2π) 3 c 3
avec
W = −
i
c
ω
2ε 0 V
μ · e
′
λ ( k)
e
′
λ ( k)= ˆ
k × e λ
|i = état n-p initial, |f = état du deutéron.
4. L’élément de matrice f |W |i se décompose en une partie de spin et
une partie spatiale, car le vecteur d’état total Ψ i,f est le produit d’un vecteur
d’état de spin χ i,f par une fonction d’onde spatiale ψ i,f ( r)
Ψ i,f = ψ i,f ( r) χ i,f
(a) Si χ
m
t , m = ±1, 0 et χ s désignent les états triplet et singulet de spin, la
partie spin de f |W |i sera
W spin =
1
4
μ N χ f |(γ p + γ n )( σ p + σ n ) · e
′
λ +(γ p − γ n )( σ p − σ n ) · e
′
λ |χ i
où χ f = χ
m
t et χ i = χ
m
t ou χ s .M o n t r e rq u e
( σ p + σ n )|χ s =0
χ s | σ p |χ s =0
(b) La partie spatiale fait intervenir l’intégrale
I fi =
d
3 rψ
∗
f ( r)ψ i ( r)=
d
3 rψ
∗
D ( r)ψ i ( r)