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Physique quantique : Exercices et applications
La fréquence Ω 1 définie par
Ω 1 (z)=2
dE
sin kz
est une fonction de z. Si l’on se restreint au sous-espace H
(n) sous tendu par
les vecteurs |ϕ
g
n et |ϕ
e
n (17.78), les vecteurs propres sont donnés par (17.93)
|χ 1n (z) = − sin θ n (z)|g ⊗ (n +1) +cosθ n (z)|e ⊗ n
|χ 2n (z) =cosθ n (z)|g ⊗ (n +1) +sinθ n (z)|e ⊗ n
Calculer la force sur un atome au repos en z lorsque cet atome est dans l’état
|χ 1n ou dans l’état |χ 2n .
2. On supposera par la suite que le champ dans la cavité est celui d’un
laser dans un état cohérent, avec un nombre moyen de photons n≫1,d e
telle sorte que ∆n ≪≪n. On peut alors écrire une expression classique de ce
champ
E L (t, z)=E 0 cos ωt sin kz
En utilisant (17.56), montrer que
Ω 1 (z)
n = ω 1 (z)
ω 1 (z)=
dE 0
sin kz
où ω 1 (z) est la fréquence de Rabi usuelle (cf. par exemple (15.36)). Dans la
discussion précédente, on n’a pas pris en compte l’émission spontanée, qui a
pour effet de dépeupler le mode laser au profit du mode du vide. Les taux de
transition entre les états à n +1 et à n photons sont donnés par
Γ ij (z)=Γ||χ i,n (z)|b + b
† |χ j,n+1 (z)|
2
avec (i, j)=1, 2.C a l c u l e rΓ ij (z) en fonction des angles θ n+1 (z) et θ n (z).O n
supposera dans toute la suite de l’exercice que le laser est intense, n ≫ 1 et
Ω 1n ≃ Ω 1n (z)=
δ 2 + ω 2
1 (z).
3. On définit les populations p i (z) de la manière suivante
p i (z)=
n
χ in (z)|ρ|χ in (z)
où ρ est l’opérateur statistique de l’atome habillé par le champ. En déduire
que si Ω 1n ≫ Γ, les populations obéissent aux équations pilotes
˙
p 1 (z)=−Γ 21 (z)p 1 (z)+Γ 12 (z)p 2 (z)
˙
p 2 (z)=Γ 21 (z)p 1 (z) − Γ 12 (z)p 2 (z)
Quelles sont les valeurs stationnaires des populations p
st
i en fonction de z ?
Montrer qu’un atome au repos subit une force
F (z)=
1
4
∂ω
2
1 (z)
∂z
1
δ 2 + ω 2
1 (z)
p
st
1 (z) − p
st
2 (z)
Reporter dans ce résultat les valeurs de p
st
1 et p
st
2 et comparer à (15.60).
Physique quantique : Exercices et applications
La fréquence Ω 1 définie par
Ω 1 (z)=2
dE
sin kz
est une fonction de z. Si l’on se restreint au sous-espace H
(n) sous tendu par
les vecteurs |ϕ
g
n et |ϕ
e
n (17.78), les vecteurs propres sont donnés par (17.93)
|χ 1n (z) = − sin θ n (z)|g ⊗ (n +1) +cosθ n (z)|e ⊗ n
|χ 2n (z) =cosθ n (z)|g ⊗ (n +1) +sinθ n (z)|e ⊗ n
Calculer la force sur un atome au repos en z lorsque cet atome est dans l’état
|χ 1n ou dans l’état |χ 2n .
2. On supposera par la suite que le champ dans la cavité est celui d’un
laser dans un état cohérent, avec un nombre moyen de photons n≫1,d e
telle sorte que ∆n ≪≪n. On peut alors écrire une expression classique de ce
champ
E L (t, z)=E 0 cos ωt sin kz
En utilisant (17.56), montrer que
Ω 1 (z)
n = ω 1 (z)
ω 1 (z)=
dE 0
sin kz
où ω 1 (z) est la fréquence de Rabi usuelle (cf. par exemple (15.36)). Dans la
discussion précédente, on n’a pas pris en compte l’émission spontanée, qui a
pour effet de dépeupler le mode laser au profit du mode du vide. Les taux de
transition entre les états à n +1 et à n photons sont donnés par
Γ ij (z)=Γ||χ i,n (z)|b + b
† |χ j,n+1 (z)|
2
avec (i, j)=1, 2.C a l c u l e rΓ ij (z) en fonction des angles θ n+1 (z) et θ n (z).O n
supposera dans toute la suite de l’exercice que le laser est intense, n ≫ 1 et
Ω 1n ≃ Ω 1n (z)=
δ 2 + ω 2
1 (z).
3. On définit les populations p i (z) de la manière suivante
p i (z)=
n
χ in (z)|ρ|χ in (z)
où ρ est l’opérateur statistique de l’atome habillé par le champ. En déduire
que si Ω 1n ≫ Γ, les populations obéissent aux équations pilotes
˙
p 1 (z)=−Γ 21 (z)p 1 (z)+Γ 12 (z)p 2 (z)
˙
p 2 (z)=Γ 21 (z)p 1 (z) − Γ 12 (z)p 2 (z)
Quelles sont les valeurs stationnaires des populations p
st
i en fonction de z ?
Montrer qu’un atome au repos subit une force
F (z)=
1
4
∂ω
2
1 (z)
∂z
1
δ 2 + ω 2
1 (z)
p
st
1 (z) − p
st
2 (z)
Reporter dans ce résultat les valeurs de p
st
1 et p
st
2 et comparer à (15.60).