17. Champ électromagnétique quantifié
763
17.5.8 Cohérences et interférences
Nous allons analyser l’expérience des trous d’Young en supposant que les
fentes sont suffisamment étroites pour que nous puissions négliger la largeur
finie des pics de diffraction : chaque trou émet une onde sphérique. Soit a,
l’opérateur d’annihilation correspondant au mode incident. Les trous d’Young
se comportent comme une lame séparatrice et on peut écrire (cf. § 17.2.2)
a =
1
√
2
(a 1 + a 2 )
où a i est l’opérateur d’annihilation correspondant au mode radial du champ
émis par le trou i. Nous avons pour le champ au point r
E
(+) ( r, t)=f (r)
a 1 e
iks1 + a 2 e
iks2
e
−iωt
s i =
| r − r i |
c
Comme dans le cas de la lame semi-transparente, la cohérence du formalisme
impose d’introduire un mode b
b =
1
√
2
(a 1 − a 2 )
bien que ce mode reste constamment dans l’état du vide.
1. On suppose que le mode a contient un seul photon : l’état initial est
donc |1 a 0 b .M o n t r e rq u e
|1 a 0 b =
1
√
2
(|10 + |01)
où |10 correspond à 1 photon (resp. 0 photon) dans le mode a 1 (resp. a 2 )
et |01 à 1 photon (resp. 0 photon) dans le mode a 2 (resp. a 1 ). Montrer que
l’intensité est
I ∝
1
2
10|a
†
1 a 1 |10 +
1
2
01|a
†
2 a 2 |01 + 10|a
†
1 a 2 |01 cos Φ
avec Φ=k(s 1 − s 2 )+cste.
2. Généraliser ce résultat à un état initial à n photons |n a 0 b et à un état
cohérent |z a 0 b .
3. Supposons que les modes a 1 et a 2 sont indépendants et sont engendrés
par deux lasers différents. Peut-on observer des interférences ?
17.5.9 Forces réactives
1. On reprend le hamiltonien de Jaynes-Cummings du § 17.2.3 pour un
atome à deux niveaux |g et |e plongé dans le champ électrique quantifié
d’une cavité
E = E(a + a
† )sinkz
E =
ω
ε 0 V
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17.5.8 Cohérences et interférences
Nous allons analyser l’expérience des trous d’Young en supposant que les
fentes sont suffisamment étroites pour que nous puissions négliger la largeur
finie des pics de diffraction : chaque trou émet une onde sphérique. Soit a,
l’opérateur d’annihilation correspondant au mode incident. Les trous d’Young
se comportent comme une lame séparatrice et on peut écrire (cf. § 17.2.2)
a =
1
√
2
(a 1 + a 2 )
où a i est l’opérateur d’annihilation correspondant au mode radial du champ
émis par le trou i. Nous avons pour le champ au point r
E
(+) ( r, t)=f (r)
a 1 e
iks1 + a 2 e
iks2
e
−iωt
s i =
| r − r i |
c
Comme dans le cas de la lame semi-transparente, la cohérence du formalisme
impose d’introduire un mode b
b =
1
√
2
(a 1 − a 2 )
bien que ce mode reste constamment dans l’état du vide.
1. On suppose que le mode a contient un seul photon : l’état initial est
donc |1 a 0 b .M o n t r e rq u e
|1 a 0 b =
1
√
2
(|10 + |01)
où |10 correspond à 1 photon (resp. 0 photon) dans le mode a 1 (resp. a 2 )
et |01 à 1 photon (resp. 0 photon) dans le mode a 2 (resp. a 1 ). Montrer que
l’intensité est
I ∝
1
2
10|a
†
1 a 1 |10 +
1
2
01|a
†
2 a 2 |01 + 10|a
†
1 a 2 |01 cos Φ
avec Φ=k(s 1 − s 2 )+cste.
2. Généraliser ce résultat à un état initial à n photons |n a 0 b et à un état
cohérent |z a 0 b .
3. Supposons que les modes a 1 et a 2 sont indépendants et sont engendrés
par deux lasers différents. Peut-on observer des interférences ?
17.5.9 Forces réactives
1. On reprend le hamiltonien de Jaynes-Cummings du § 17.2.3 pour un
atome à deux niveaux |g et |e plongé dans le champ électrique quantifié
d’une cavité
E = E(a + a
† )sinkz
E =
ω
ε 0 V