760
Physique quantique : Exercices et applications
le cas des oscillations de Rabi du vide (§ 17.2.3), on dispose sur le parcours
des atomes de rubidium, entre les cavités R 1 et R 2 , une cavité C qui peut
contenir des photons micro-ondes. La cavité est résonante pour une fréquence
ω 0 =51.1 GHz et la vie moyenne d’un photon dans la cavité est de l’ordre de
0.1 s. Les atomes sont préparés dans des états de Rydberg : exercice 15.4.4.
1. Résultat préliminaire. On se propose de déterminer le déphasage accumulé par un atome dans l’état |g ou |e lorsque cet atome traverse la cavité C
et que cette cavité contient exactement n photons. Représenter graphiquement
les énergies E
±
n des états propres (17.93) du hamiltonien de Jaynes-Cummings.
On se place hors résonance, |δ|≫Ω R . Montrer que, dans ce cas, les énergies
E
±
n prennent la forme approchée
E
±
n ≃±
2
δ ±
Ω
2
n
4δ
= ±
2
δ ± (n +1)s 0
avec Ω n =Ω R
√
n +1 et s 0 =Ω
2
R /(4δ). Si l’on compare maintenant les états
atome+n photons |g ⊗ n (et non |g ⊗ (n +1) !) et |e ⊗ n,m o n t r e rq u el e
déplacement d’énergie de ces deux états, dû à la présence de n photons quand
l’atome traverse la cavité est, pour les états |g et |e
∆ en = −(n +1)s 0
∆ gn = ns 0
Montrer que hors résonance les vecteurs d’état |g ⊗ n et |e ⊗ n,a p r è sl e
passage dans la cavité, sont déphasés de
Φ(n)=2
n +
1
2
s 0 t
où t est le temps de traversée de la cavité. En fait, le champ dans la cavité n’est
pas uniforme, et t représente une durée effective. Les termes ∝ n représentent
le déplacement lumineux des niveaux d’énergie, proportionnel au nombre de
photons, et les termes ∝ 1/2, le déplacement Lamb. On peut montrer que
hors résonance les niveaux d’énergie suivent une trajectoire adiabatique lors
du passage dans la cavité : un atome entré dans le niveau |g (|e)e ns o r t
dans le niveau |g (|e). De plus, la probabilité d’émission ou d’absorption
d’un photon par l’atome est négligeable.
2. On examine maintenant le passage de l’atome dans les cavités, R 1 et
R 2 où règne un champ de radiofréquences résonant pour la fréquence
ω 0 =( E e − E g )/. Dans ces cavités, on prend comme hamiltonien d’interaction atome-champ de radiofréquences
H 1 (t)=−
1
2
ω 1 [σ x cos(ωt − φ) − σ y sin(ωt − φ)]
On introduit donc un déphasage φ du champ de radiofréquences. Bien sûr,
φ ne peut pas avoir de signification absolue (pourquoi ?), mais ce qui peut jouer
Physique quantique : Exercices et applications
le cas des oscillations de Rabi du vide (§ 17.2.3), on dispose sur le parcours
des atomes de rubidium, entre les cavités R 1 et R 2 , une cavité C qui peut
contenir des photons micro-ondes. La cavité est résonante pour une fréquence
ω 0 =51.1 GHz et la vie moyenne d’un photon dans la cavité est de l’ordre de
0.1 s. Les atomes sont préparés dans des états de Rydberg : exercice 15.4.4.
1. Résultat préliminaire. On se propose de déterminer le déphasage accumulé par un atome dans l’état |g ou |e lorsque cet atome traverse la cavité C
et que cette cavité contient exactement n photons. Représenter graphiquement
les énergies E
±
n des états propres (17.93) du hamiltonien de Jaynes-Cummings.
On se place hors résonance, |δ|≫Ω R . Montrer que, dans ce cas, les énergies
E
±
n prennent la forme approchée
E
±
n ≃±
2
δ ±
Ω
2
n
4δ
= ±
2
δ ± (n +1)s 0
avec Ω n =Ω R
√
n +1 et s 0 =Ω
2
R /(4δ). Si l’on compare maintenant les états
atome+n photons |g ⊗ n (et non |g ⊗ (n +1) !) et |e ⊗ n,m o n t r e rq u el e
déplacement d’énergie de ces deux états, dû à la présence de n photons quand
l’atome traverse la cavité est, pour les états |g et |e
∆ en = −(n +1)s 0
∆ gn = ns 0
Montrer que hors résonance les vecteurs d’état |g ⊗ n et |e ⊗ n,a p r è sl e
passage dans la cavité, sont déphasés de
Φ(n)=2
n +
1
2
s 0 t
où t est le temps de traversée de la cavité. En fait, le champ dans la cavité n’est
pas uniforme, et t représente une durée effective. Les termes ∝ n représentent
le déplacement lumineux des niveaux d’énergie, proportionnel au nombre de
photons, et les termes ∝ 1/2, le déplacement Lamb. On peut montrer que
hors résonance les niveaux d’énergie suivent une trajectoire adiabatique lors
du passage dans la cavité : un atome entré dans le niveau |g (|e)e ns o r t
dans le niveau |g (|e). De plus, la probabilité d’émission ou d’absorption
d’un photon par l’atome est négligeable.
2. On examine maintenant le passage de l’atome dans les cavités, R 1 et
R 2 où règne un champ de radiofréquences résonant pour la fréquence
ω 0 =( E e − E g )/. Dans ces cavités, on prend comme hamiltonien d’interaction atome-champ de radiofréquences
H 1 (t)=−
1
2
ω 1 [σ x cos(ωt − φ) − σ y sin(ωt − φ)]
On introduit donc un déphasage φ du champ de radiofréquences. Bien sûr,
φ ne peut pas avoir de signification absolue (pourquoi ?), mais ce qui peut jouer