17. Champ électromagnétique quantifié
759
χ(ω/ω c ), χ(0) = 1 et lim u→∞ χ(u)=0: χ(u) est une fonction régulière,
décroissant de la valeur un à u =0à la valeur zéro pour u →∞. En déduire
E 0 (L)=
S
(2π) 2
∞
n=0
′
d
2 kω n ( k)χ
ω n ( k)
ω c
=
S
2πc 2
∞
n=0
′
∞
ωn
dωω
2 χ
ω
ω c
ω n =
πcn
L
Grâce au facteur de coupure, cette énergie est finie.
5. Calculer la pression exercée sur la plaque de droite
P int = −
1
S
dE 0
dL
= −
π
2 c
2L 4
n
′
g(n)
où
g(n)=n
3 χ
ω n
ω c
Pour obtenir la pression totale sur cette plaque, il faut retrancher la pression
en sens contraire exercée par le vide à l’extérieur de l’espace entre les deux
plaques. Calculer l’énergie correspondante et en déduire la pression
P ext = −
π
2 c
2L 4
∞
0
dng(n)
La pression totale sur la plaque est P tot = P int − P ext . Utiliser la formule
d’Euler-Mac Laurin
∞
n=0
′ g(n) −
∞
0
g(n)=−
1
12
g
′ (0) +
1
6!
g
′′′ (0) + ...
pour montrer que le résultat à la limite où le facteur de coupure devient égal
àu ne s t
P tot = −
π
2
240
c
L 4
Cette pression est attractive, et surtout elle est finie ! En tenant compte soigneusement de tous les effets physiques, nous avons déduit d’une quantité
a priori infinie, l’énergie de point zéro, une quantité finie et mesurable
28 .
17.5.7 Observation non destructive de photons
Le schéma de l’expérience illustré sur la figure 17.4 est semblable en partie
à celui utilisé pour les horloges atomiques (§ 5.4.3). Toutefois, comme dans
28. Une référence récente est Mohiden et Roy [1998]. La précision des mesures de l’effet
Casimir est actuellement de l’ordre de 1 %, et les mesures confirment la validité de la formule
théorique.