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Physique quantique : Exercices et applications
17.5.6 Effet Casimir
En raison des fluctuations quantiques du champ électromagnétique, il
existe une force attractive entre deux plaques conductrices parallèles distantes
de L, même si ces deux plaques sont disposées dans le vide et sont électriquement neutres : c’est l’effet Casimir
26 . On suppose que les dimensions des
plaques sont très grandes par rapport à L.
1. Par un argument dimensionnel, montrer que la force P sur une plaque
par unité de surface est de la forme
P = A
c
L 4
où A est un coefficient numérique. La surprise est que A =0!
2. Les deux plaques sont des rectangles parallèles au plan xOy distants
de L,d ec ô t é sL x et L y ,d es u r f a c eS = L x L y avec L x ,L y ≫ L. On choisira
des conditions périodiques suivant les axes Ox et Oy et on définira le vecteur
d’onde k de xOy par
k =
2πn x
L x
,
2πn y
L y
où n x et n y sont des entiers relatifs, n x ,n y ∈ Z. Montrer que si les plaques
sont des conducteurs parfaits, les valeurs possibles des fréquences des ondes
stationnaires sont de la forme
ω n ( k)=c
π 2 n 2
L 2 + k 2
n =0, 1, 2,...
On rappelle que pour un conducteur parfait la composante transverse du
c h a m pé l e c t r i q u es ’ a n n u l eàl as u r f a c ed um é t a l
27 . Expliquer pourquoi pour
n =0, il n’existe qu’un seul mode de polarisation possible.
3. Montrer que l’énergie de point zéro (17.46) est
E 0 (L)=
2
⎛
⎝ 2
n, k
′
ω n ( k)
⎞
⎠
où
n, k
′
=
1
2
n=0, k
+
n≥1, k
4. On doit tenir compte de ce que le conducteur n’est jamais parfait :
l’approximation du conducteur parfait est excellente à basse fréquence, mais
à haute fréquence, tout conducteur réel devient transparent. On doit donc
modifier l’énergie de point zéro en tenant compte d’un facteur de coupure
26. Cet exercice est adapté d’une présentation de B. Duplantier, Séminaire H. Poincaré,
mars 2002.
27. Voir par exemple Jackson [2001], section 8.1.
Physique quantique : Exercices et applications
17.5.6 Effet Casimir
En raison des fluctuations quantiques du champ électromagnétique, il
existe une force attractive entre deux plaques conductrices parallèles distantes
de L, même si ces deux plaques sont disposées dans le vide et sont électriquement neutres : c’est l’effet Casimir
26 . On suppose que les dimensions des
plaques sont très grandes par rapport à L.
1. Par un argument dimensionnel, montrer que la force P sur une plaque
par unité de surface est de la forme
P = A
c
L 4
où A est un coefficient numérique. La surprise est que A =0!
2. Les deux plaques sont des rectangles parallèles au plan xOy distants
de L,d ec ô t é sL x et L y ,d es u r f a c eS = L x L y avec L x ,L y ≫ L. On choisira
des conditions périodiques suivant les axes Ox et Oy et on définira le vecteur
d’onde k de xOy par
k =
2πn x
L x
,
2πn y
L y
où n x et n y sont des entiers relatifs, n x ,n y ∈ Z. Montrer que si les plaques
sont des conducteurs parfaits, les valeurs possibles des fréquences des ondes
stationnaires sont de la forme
ω n ( k)=c
π 2 n 2
L 2 + k 2
n =0, 1, 2,...
On rappelle que pour un conducteur parfait la composante transverse du
c h a m pé l e c t r i q u es ’ a n n u l eàl as u r f a c ed um é t a l
27 . Expliquer pourquoi pour
n =0, il n’existe qu’un seul mode de polarisation possible.
3. Montrer que l’énergie de point zéro (17.46) est
E 0 (L)=
2
⎛
⎝ 2
n, k
′
ω n ( k)
⎞
⎠
où
n, k
′
=
1
2
n=0, k
+
n≥1, k
4. On doit tenir compte de ce que le conducteur n’est jamais parfait :
l’approximation du conducteur parfait est excellente à basse fréquence, mais
à haute fréquence, tout conducteur réel devient transparent. On doit donc
modifier l’énergie de point zéro en tenant compte d’un facteur de coupure
26. Cet exercice est adapté d’une présentation de B. Duplantier, Séminaire H. Poincaré,
mars 2002.
27. Voir par exemple Jackson [2001], section 8.1.