17. Champ électromagnétique quantifié
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où ρ s est l’opérateur statistique du signal. Donner l’interprétation physique
des trois termes. Montrer que le dernier terme est un terme de battement
entre le signal et l’oscillateur local et qu’il peut s’écrire
S
bat
a
∝ 2
t(1 − t) |z||X [θ+π/2]
avec z = |z| exp(iθ).
17.5.5 Oscillations de Rabi dans une cavité
1. Dans le cadre du § 17.2.3 et de la figure 17.4, calculer la probabilité p(t)
de trouver l’atome au temps t dans l’état excité hors résonance, et montrer
que la fréquence des oscillations est maintenant (toujours dans le cas où il n’y
a pas de photons dans la cavité)
Ω=
δ 2 +Ω 2
R
Montrer que pour un désaccord δ tel que Ω R ≪| δ|≪ω 0 , l’atome reste
pratiquement toujours dans son état excité : l’émission spontanée est inhibée
par la présence de la cavité. Comment doit-on modifier les résultats si la cavité
contient exactement n photons ?
2. On suppose que la cavité contient un état cohérent du champ |z et on
revient au cas de la résonance : δ =0. Montrer que la probabilité p(t) est
p(t)=
1
2
−
e
−|z|
2
2
∞
n=0
|z|
2n
n!
cos(Ω n t)Ω n =Ω R
√
n +1
Expérimentalement, la transformée de Fourier de p(t) exhibe des pics à des
fréquences ν 0 =4 7kHz, ν 1 =6 5kHz et ν 2 =8 1kHz. En déduire le nombre
moyen de photons n 0 = |z|
2 de l’état cohérent sachant que le rapport de la
hauteur des pics à ν 0 et ν 1 est ≃ 0.9.
3. Montrer que si n 0 ≫ 1, alors il semble raisonnable de traiter n comme
une variable continue et p(t) se met sous la forme
p(t) ≃
1
2
−
1
2
cos(Ω n0 t) e
−t
2 /τ
2
Donner l’expression du temps de relaxation τ des oscillations. En fait, il n’est
pas correct de traiter n comme une variable continue : l’étude numérique
de la somme discrète montre que les oscillations commencent par disparaître
pour t > ∼ τ , mais qu’elles réapparaissent au bout d’un certain temps. C’est le
phénomène de résurgence. Estimer le temps τ 1 au bout duquel les oscillations
corrrespondant à n 0 −
√
n 0 et n 0 +
√
n 0 sont déphasées de π,etmontrerqueτ ≃
τ 1 . Pourquoi les oscillations réapparaissent-elles après 2τ 1 pour redisparaître
ensuite ?
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où ρ s est l’opérateur statistique du signal. Donner l’interprétation physique
des trois termes. Montrer que le dernier terme est un terme de battement
entre le signal et l’oscillateur local et qu’il peut s’écrire
S
bat
a
∝ 2
t(1 − t) |z||X [θ+π/2]
avec z = |z| exp(iθ).
17.5.5 Oscillations de Rabi dans une cavité
1. Dans le cadre du § 17.2.3 et de la figure 17.4, calculer la probabilité p(t)
de trouver l’atome au temps t dans l’état excité hors résonance, et montrer
que la fréquence des oscillations est maintenant (toujours dans le cas où il n’y
a pas de photons dans la cavité)
Ω=
δ 2 +Ω 2
R
Montrer que pour un désaccord δ tel que Ω R ≪| δ|≪ω 0 , l’atome reste
pratiquement toujours dans son état excité : l’émission spontanée est inhibée
par la présence de la cavité. Comment doit-on modifier les résultats si la cavité
contient exactement n photons ?
2. On suppose que la cavité contient un état cohérent du champ |z et on
revient au cas de la résonance : δ =0. Montrer que la probabilité p(t) est
p(t)=
1
2
−
e
−|z|
2
2
∞
n=0
|z|
2n
n!
cos(Ω n t)Ω n =Ω R
√
n +1
Expérimentalement, la transformée de Fourier de p(t) exhibe des pics à des
fréquences ν 0 =4 7kHz, ν 1 =6 5kHz et ν 2 =8 1kHz. En déduire le nombre
moyen de photons n 0 = |z|
2 de l’état cohérent sachant que le rapport de la
hauteur des pics à ν 0 et ν 1 est ≃ 0.9.
3. Montrer que si n 0 ≫ 1, alors il semble raisonnable de traiter n comme
une variable continue et p(t) se met sous la forme
p(t) ≃
1
2
−
1
2
cos(Ω n0 t) e
−t
2 /τ
2
Donner l’expression du temps de relaxation τ des oscillations. En fait, il n’est
pas correct de traiter n comme une variable continue : l’étude numérique
de la somme discrète montre que les oscillations commencent par disparaître
pour t > ∼ τ , mais qu’elles réapparaissent au bout d’un certain temps. C’est le
phénomène de résurgence. Estimer le temps τ 1 au bout duquel les oscillations
corrrespondant à n 0 −
√
n 0 et n 0 +
√
n 0 sont déphasées de π,etmontrerqueτ ≃
τ 1 . Pourquoi les oscillations réapparaissent-elles après 2τ 1 pour redisparaître
ensuite ?