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Physique quantique : Exercices et applications
où l’on a omis la dépendance vectorielle qui ne joue aucun rôle dans l’argument ; c.c.= complexe conjugué. En utilisant
k
=
− k
=
1
2
⎛
⎝
k
+
− k
⎞
⎠
montrer que l’on peut faire en sorte que exp(i k · r) soit toujours associé à
exp(−iω k t), comme dans (17.33).
17.5.3 Relations de commutation du champ
électromagnétique
1. En se plaçant à t =0, évaluer le commutateur (17.51)
[A i ( r), −ε 0 E j ( r
′ )] = i
d
3 k
(2π) 3
δ ij − ˆ
k i ˆ
k j
e
i k·( r− r
′ )
Montrer que ces relations sont aussi valables pour le commutateur àt e m p s
égaux
[A Hi ( r, t), −ε 0 E Hj ( r
′ ,t)]
2. En déduire les relations de commutation entre E Hi et B Hj .
17.5.4 Détection homodyne et lame séparatrice
déséquilibrée
1. On reprend l’interféromètre du § 1.4.5, en supposant qu’un seul photon
dans le mode a arrive dans l’interféromètre. Le mode b est le vide, et l’état
initial est donc |1 a 0 b . Montrer que l’état final est
|Ψ =
1
2
−1+e
iδ
|1 a 0 b +
i
2
1+e
iδ
|0 a 1 b
En déduire les taux de comptage S a et S b des détecteurs D a et D b et retrouver
les résultats du § 1.4.5
S a ∝∝Ψ|a
† a|Ψ
S b ∝∝Ψ|b
† b|Ψ
Répéter le raisonnement pour un état de Fock initial à n photons |n a 0 b ,
et montrer que le résultat pour n photons est le même que pour n photons
successifs. Que se passe-t-il si l’état initial est un état cohérent |z a 0 b ?
2. On utilise une détection homodyne avec un diviseur de faisceau déséquilibré, l’oscillateur local étant dans un état |z. Montrer que le taux de
détection S a du détecteur D a est
S a ∝∝z|b
† b|z sin
2 λ +Tr(ρ s a
† a)c o s
2 λ + iTr
ρ s |zz|
a
† b − ab
†
sin λ cos λ
Physique quantique : Exercices et applications
où l’on a omis la dépendance vectorielle qui ne joue aucun rôle dans l’argument ; c.c.= complexe conjugué. En utilisant
k
=
− k
=
1
2
⎛
⎝
k
+
− k
⎞
⎠
montrer que l’on peut faire en sorte que exp(i k · r) soit toujours associé à
exp(−iω k t), comme dans (17.33).
17.5.3 Relations de commutation du champ
électromagnétique
1. En se plaçant à t =0, évaluer le commutateur (17.51)
[A i ( r), −ε 0 E j ( r
′ )] = i
d
3 k
(2π) 3
δ ij − ˆ
k i ˆ
k j
e
i k·( r− r
′ )
Montrer que ces relations sont aussi valables pour le commutateur àt e m p s
égaux
[A Hi ( r, t), −ε 0 E Hj ( r
′ ,t)]
2. En déduire les relations de commutation entre E Hi et B Hj .
17.5.4 Détection homodyne et lame séparatrice
déséquilibrée
1. On reprend l’interféromètre du § 1.4.5, en supposant qu’un seul photon
dans le mode a arrive dans l’interféromètre. Le mode b est le vide, et l’état
initial est donc |1 a 0 b . Montrer que l’état final est
|Ψ =
1
2
−1+e
iδ
|1 a 0 b +
i
2
1+e
iδ
|0 a 1 b
En déduire les taux de comptage S a et S b des détecteurs D a et D b et retrouver
les résultats du § 1.4.5
S a ∝∝Ψ|a
† a|Ψ
S b ∝∝Ψ|b
† b|Ψ
Répéter le raisonnement pour un état de Fock initial à n photons |n a 0 b ,
et montrer que le résultat pour n photons est le même que pour n photons
successifs. Que se passe-t-il si l’état initial est un état cohérent |z a 0 b ?
2. On utilise une détection homodyne avec un diviseur de faisceau déséquilibré, l’oscillateur local étant dans un état |z. Montrer que le taux de
détection S a du détecteur D a est
S a ∝∝z|b
† b|z sin
2 λ +Tr(ρ s a
† a)c o s
2 λ + iTr
ρ s |zz|
a
† b − ab
†
sin λ cos λ