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Physique quantique : Exercices et applications
ces deux termes sont nulles car le temps de réponse du détecteur est très long
par rapport à la période du rayonnement : seule subsiste la valeur moyenne
de E
(−) E
(+) dans (17.158).
Il est facile de montrer l’inégalité
|G
(1) (x 1 ; x 2 )|
2 ≤ G
(1) (x 1 ; x 1 )G
(1) (x 2 ; x 2 )
(17.160)
Considérons, en effet, la quantité
A = λ 1 E
(+) (x 1 )+λ 2 E
(+) (x 2 )
On déduit immédiatement (17.160) de l’inégalité A
† A≥0. L’inégalité
(17.160) se généralise aisément à des fonctions de corrélation d’ordre plus
élevé.
Pour donner l’interpétation physique de G
(1) (x 1 ; x 2 ), examinons une expérience d’interférences du type fentes d’Young. Le champ sur l’écran au point
d’espace-temps x =( r, t) est la superposition des champs issus des fentes (1)
et(2) aux temps t i
t i = t −
| r − r i |
c
= t −
s i
c
i =1, 2
où r i est la position de la fente (i). Le champ E
(+) ( r, t) est donc
E
(+) ( r, t)=K 1 E
(+) ( r 1 ,t 1 )+K 2 E
(+) ( r 2 ,t 2 )
(17.161)
où K 1 et K 2 sont des coefficients numériques, et l’intensité au point r est
I( r, t)=|K 1 |
2 I( r 1 ,t 1 )+|K 2 |
2 I( r 2 ,t 2 )+2Re
K 1 K
∗
2 G
(1) (x 1 ; x 2 )
(17.162)
Le dernier terme de (17.162) est manifestement un terme d’interférences, et
il est contrôlé par la fonction de corrélation G
(1) (x 1 ; x 2 ). Si l’on utilise pour
E un développement en ondes planes, la contribution d’une onde plane à
G
(1) (x 1 ; x 2 ) est donnée par
G
(1) (x 1 ; x 2 )=|E k |
2 e
i k·( r1− r2) e
−iω k (t1−t2)
a
†
k
a k
(17.163)
La première exponentielle est indépendante de r et la seconde est à l’origine
des interférences, si on la reporte dans (17.162). Dans le cas général, on voit
d’après (17.162) que la visibilité des franges est contrôlée par la cohérence
d’ordre un g
(1)
g
(1) (x 1 ; x 2 )=
G
(1) (x 1 ; x 2 )
G (1) (x 1 ; x 1 )G (1) (x 2 ; x 2 )
1/2
(17.164)
qui vérifie d’après (17.160) l’inégalité |g
(1) |≤1. Une analyse plus complète
de cette expérience d’interférences est proposée dans l’exercice 17.5.8.
Physique quantique : Exercices et applications
ces deux termes sont nulles car le temps de réponse du détecteur est très long
par rapport à la période du rayonnement : seule subsiste la valeur moyenne
de E
(−) E
(+) dans (17.158).
Il est facile de montrer l’inégalité
|G
(1) (x 1 ; x 2 )|
2 ≤ G
(1) (x 1 ; x 1 )G
(1) (x 2 ; x 2 )
(17.160)
Considérons, en effet, la quantité
A = λ 1 E
(+) (x 1 )+λ 2 E
(+) (x 2 )
On déduit immédiatement (17.160) de l’inégalité A
† A≥0. L’inégalité
(17.160) se généralise aisément à des fonctions de corrélation d’ordre plus
élevé.
Pour donner l’interpétation physique de G
(1) (x 1 ; x 2 ), examinons une expérience d’interférences du type fentes d’Young. Le champ sur l’écran au point
d’espace-temps x =( r, t) est la superposition des champs issus des fentes (1)
et(2) aux temps t i
t i = t −
| r − r i |
c
= t −
s i
c
i =1, 2
où r i est la position de la fente (i). Le champ E
(+) ( r, t) est donc
E
(+) ( r, t)=K 1 E
(+) ( r 1 ,t 1 )+K 2 E
(+) ( r 2 ,t 2 )
(17.161)
où K 1 et K 2 sont des coefficients numériques, et l’intensité au point r est
I( r, t)=|K 1 |
2 I( r 1 ,t 1 )+|K 2 |
2 I( r 2 ,t 2 )+2Re
K 1 K
∗
2 G
(1) (x 1 ; x 2 )
(17.162)
Le dernier terme de (17.162) est manifestement un terme d’interférences, et
il est contrôlé par la fonction de corrélation G
(1) (x 1 ; x 2 ). Si l’on utilise pour
E un développement en ondes planes, la contribution d’une onde plane à
G
(1) (x 1 ; x 2 ) est donnée par
G
(1) (x 1 ; x 2 )=|E k |
2 e
i k·( r1− r2) e
−iω k (t1−t2)
a
†
k
a k
(17.163)
La première exponentielle est indépendante de r et la seconde est à l’origine
des interférences, si on la reporte dans (17.162). Dans le cas général, on voit
d’après (17.162) que la visibilité des franges est contrôlée par la cohérence
d’ordre un g
(1)
g
(1) (x 1 ; x 2 )=
G
(1) (x 1 ; x 2 )
G (1) (x 1 ; x 1 )G (1) (x 2 ; x 2 )
1/2
(17.164)
qui vérifie d’après (17.160) l’inégalité |g
(1) |≤1. Une analyse plus complète
de cette expérience d’interférences est proposée dans l’exercice 17.5.8.