17. Champ électromagnétique quantifié
751
Les expériences d’interférences qui mesurent les corrélations du premier
ordre ne peuvent pas distinguer les différents états du champ, par exemple
un état à un photon et un état cohérent. Ce sont uniquement les corrélations
d’ordre supérieur ou égal à deux qui permettent de faire la différence. Nous
nous contenterons de la corrélation d’ordre deux, définie suivant (17.157) par
G
(2) (x 1 ,x 2 ; x 2 ,x 1 )=
E
(−) (x 1 ) E
(−) (x 2 )E
(+) (x 2 ) E
(+) (x 1 )
(17.165)
où nous nous sommes limités au cas x
′
i = x i . Jusqu’à la fin de cette soussection, nous allons ignorer les corrélations spatiales du champ et supprimer
l’argument r afin d’alléger les notations. De plus, nous nous limitons à des
situations stationnaires : par exemple l’intensité est indépendante du temps,
I(t)=I. Écrivons donc la forme simplifiée de la corrélation d’ordre deux,
avec t 1 = t, t 2 = t − τ
G
(2) (t, t − τ ; t − τ, t)=
E
(−) (t) E
(−) (t − τ )E
(+) (t − τ ) E
(+) (t)
(17.166)
qui ne dépend en fait que de τ en raison de la stationnarité, et définissons la
cohérence d’ordre deux g
(2) (τ ) par
G
(2) (t, t − τ ; t − τ, t)=I
2
1+g
(2) (τ )
(17.167)
Dans le cas d’un rayonnement classique, G
(2) (t, t − τ ; t − τ, t) est une simple
corrélation d’intensité
G
(2) (t, t − τ ; t − τ, t)=
I(t) I(t − τ )
(17.168)
et on voit que g
(2) (τ ) n’est pas limité comme l’était g
(1)
g
(2) (0) =
I
2
II 2 − 1
ce qui montre que 0 ≤ g
(2) (0) < ∞. A contrario, toute expérience mesurant
une valeur g
(2) (0) < 0 mettrait en évidence le caractère quantique du rayonnement détecté. Un autre cas intéressant est celui du rayonnement gaussien :
lorsqu’une distribution de probabilité est gaussienne, les moments d’ordre 4
s’expriment en fonction des moments d’ordre 2, et comme (E
(±) )
2 =0 ,o n
déduit
G
(2) (t, t − τ ; t − τ, t)=
E
(−) (t) E
(+) (t)
E
(−) (t − τ ) E
(+) (t − τ )
+
E
(−) (t) E
(+) (t − τ )
E
(−) (t) E
(+) (t − τ )
= I
2
1+|g
(1) (τ )|
2
La cohérence d’ordre deux s’exprime en fonction de la cohérence d’ordre un.
Un autre cas extrême est celui d’un état à photon, car alors G
(2) =0 ,s o i t
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Les expériences d’interférences qui mesurent les corrélations du premier
ordre ne peuvent pas distinguer les différents états du champ, par exemple
un état à un photon et un état cohérent. Ce sont uniquement les corrélations
d’ordre supérieur ou égal à deux qui permettent de faire la différence. Nous
nous contenterons de la corrélation d’ordre deux, définie suivant (17.157) par
G
(2) (x 1 ,x 2 ; x 2 ,x 1 )=
E
(−) (x 1 ) E
(−) (x 2 )E
(+) (x 2 ) E
(+) (x 1 )
(17.165)
où nous nous sommes limités au cas x
′
i = x i . Jusqu’à la fin de cette soussection, nous allons ignorer les corrélations spatiales du champ et supprimer
l’argument r afin d’alléger les notations. De plus, nous nous limitons à des
situations stationnaires : par exemple l’intensité est indépendante du temps,
I(t)=I. Écrivons donc la forme simplifiée de la corrélation d’ordre deux,
avec t 1 = t, t 2 = t − τ
G
(2) (t, t − τ ; t − τ, t)=
E
(−) (t) E
(−) (t − τ )E
(+) (t − τ ) E
(+) (t)
(17.166)
qui ne dépend en fait que de τ en raison de la stationnarité, et définissons la
cohérence d’ordre deux g
(2) (τ ) par
G
(2) (t, t − τ ; t − τ, t)=I
2
1+g
(2) (τ )
(17.167)
Dans le cas d’un rayonnement classique, G
(2) (t, t − τ ; t − τ, t) est une simple
corrélation d’intensité
G
(2) (t, t − τ ; t − τ, t)=
I(t) I(t − τ )
(17.168)
et on voit que g
(2) (τ ) n’est pas limité comme l’était g
(1)
g
(2) (0) =
I
2
II 2 − 1
ce qui montre que 0 ≤ g
(2) (0) < ∞. A contrario, toute expérience mesurant
une valeur g
(2) (0) < 0 mettrait en évidence le caractère quantique du rayonnement détecté. Un autre cas intéressant est celui du rayonnement gaussien :
lorsqu’une distribution de probabilité est gaussienne, les moments d’ordre 4
s’expriment en fonction des moments d’ordre 2, et comme (E
(±) )
2 =0 ,o n
déduit
G
(2) (t, t − τ ; t − τ, t)=
E
(−) (t) E
(+) (t)
E
(−) (t − τ ) E
(+) (t − τ )
+
E
(−) (t) E
(+) (t − τ )
E
(−) (t) E
(+) (t − τ )
= I
2
1+|g
(1) (τ )|
2
La cohérence d’ordre deux s’exprime en fonction de la cohérence d’ordre un.
Un autre cas extrême est celui d’un état à photon, car alors G
(2) =0 ,s o i t