17. Champ électromagnétique quantifié
749
indépendante de la fréquence, on a affaire à un “détecteur idéal”, pour lequel
s(t
′ − t
′′ )=s 0 δ(t
′ − t
′′ ) ; on obtient alors une formule très simple pour le taux
de détection par unité de temps w(t),
w(t)=
dp
dt
= s 0
E
(−) ( r, t) E
(+) ( r, t)
(17.156)
Cette expression est valable si le temps de corrélation du champ est très grand
par rapport au temps de corrélation du détecteur : dans (17.156), on néglige
les corrélations temporelles du champ, car E
(−) et E
(+) sont pris au même
temps t.
L’expression (17.153) se généralise à la détection du rayonnement par N
atomes placés en r 1 , ··· ,, r N . Le taux de détection fait intervenir la valeur
moyenne
G
(N ) (x 1 , ··· ,x N ; x
′
N , ··· ,x
′
1 )=T r
ρ E
(−) (x 1 ) ···E
(−) (x N )E
(+) (x
′
1 ) ···
× E
(+) (x
′
N )
=
E
(−) (x 1 ) ···E
(−) (x N )E
(+) (x
′
1 ) ···E
(+) (x
′
N )
(17.157)
où nous avons utilisé la notation quadri-dimensionnelle x =( r, t). Pour une
complète généralité, nous avons choisi des arguments x
′
i = x i . Par exemple la
généralisation de (17.153) serait
G
(1) ( r
′′ ,t
′′ ; r
′ ,t
′ )=
E
(−) ( r
′′ ,t
′′ )E
(+) ( r
′ ,t
′ )
17.4.2 Cohérences
Dans le produit de champs utilisé pour définir (17.157), tous les opérateurs
de création sont à gauche de tous les opérateurs d’annihilation : un tel ordre
est appelé ordre normal,e te s tn o t é: • :. Par exemple l’ordre normal : E
2 : du
produit E
2 est obtenu en omettant un commutateur
: E
2 := :
E
(+) + E
(−)
2
:=
E
(+)
2
+
E
(−)
2
+2E
(−) E
(+)
(17.158)
Nous allons maintenant donner l’interpétation physique et quelques propriétés des fonctions de corrélation, ainsi que quelques applications des fonctions
de corrélation d’ordre un et deux. La fonction G
(1) ( r, t; r, t) n’est autre que
l’intensité lumineuse I( r, t) (à un facteur numérique près) au point r et au
temps t
I( r, t)=
E
(−) ( r, t) E
(+) ( r, t)
= G
(1) ( r, t; r, t)
(17.159)
En effet, si nous calculons la valeur moyenne de E
2 (17.158), nous remarquons
que (E
(±) )
2 se comporte en exp(∓2iωt), et les valeurs moyennes temporelles de
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indépendante de la fréquence, on a affaire à un “détecteur idéal”, pour lequel
s(t
′ − t
′′ )=s 0 δ(t
′ − t
′′ ) ; on obtient alors une formule très simple pour le taux
de détection par unité de temps w(t),
w(t)=
dp
dt
= s 0
E
(−) ( r, t) E
(+) ( r, t)
(17.156)
Cette expression est valable si le temps de corrélation du champ est très grand
par rapport au temps de corrélation du détecteur : dans (17.156), on néglige
les corrélations temporelles du champ, car E
(−) et E
(+) sont pris au même
temps t.
L’expression (17.153) se généralise à la détection du rayonnement par N
atomes placés en r 1 , ··· ,, r N . Le taux de détection fait intervenir la valeur
moyenne
G
(N ) (x 1 , ··· ,x N ; x
′
N , ··· ,x
′
1 )=T r
ρ E
(−) (x 1 ) ···E
(−) (x N )E
(+) (x
′
1 ) ···
× E
(+) (x
′
N )
=
E
(−) (x 1 ) ···E
(−) (x N )E
(+) (x
′
1 ) ···E
(+) (x
′
N )
(17.157)
où nous avons utilisé la notation quadri-dimensionnelle x =( r, t). Pour une
complète généralité, nous avons choisi des arguments x
′
i = x i . Par exemple la
généralisation de (17.153) serait
G
(1) ( r
′′ ,t
′′ ; r
′ ,t
′ )=
E
(−) ( r
′′ ,t
′′ )E
(+) ( r
′ ,t
′ )
17.4.2 Cohérences
Dans le produit de champs utilisé pour définir (17.157), tous les opérateurs
de création sont à gauche de tous les opérateurs d’annihilation : un tel ordre
est appelé ordre normal,e te s tn o t é: • :. Par exemple l’ordre normal : E
2 : du
produit E
2 est obtenu en omettant un commutateur
: E
2 := :
E
(+) + E
(−)
2
:=
E
(+)
2
+
E
(−)
2
+2E
(−) E
(+)
(17.158)
Nous allons maintenant donner l’interpétation physique et quelques propriétés des fonctions de corrélation, ainsi que quelques applications des fonctions
de corrélation d’ordre un et deux. La fonction G
(1) ( r, t; r, t) n’est autre que
l’intensité lumineuse I( r, t) (à un facteur numérique près) au point r et au
temps t
I( r, t)=
E
(−) ( r, t) E
(+) ( r, t)
= G
(1) ( r, t; r, t)
(17.159)
En effet, si nous calculons la valeur moyenne de E
2 (17.158), nous remarquons
que (E
(±) )
2 se comporte en exp(∓2iωt), et les valeurs moyennes temporelles de