17. Champ électromagnétique quantifié
747
avec E k =
ω k /2ε 0 V. Les termes E
(+) (t) et E
(−) (t),( [E
(+) (t)]
† = E
(−) (t)),
proportionnels respectivement à a k exp(−iω k t) et à a
†
k
exp(+iω k t),s o n t
appelés composantes de fréquence positive et de fréquence négative
22 de E.
Nous appelons |a et |b les deux niveaux atomiques
23 d’énergie E a et E b ,o ù
|a est un état lié et |b un état du continuum, ω ba =( E b − E a )/ et ˜
D ba (t)
l’élément de matrice du dipôle donné dans le point de vue de l’interaction par
˜
D ba (t)=b| ˜
D(t)|a = e
iω ba t D ba
(17.145)
Au premier ordre de la théorie des perturbations, le vecteur d’état
atome+champ est donné par (| ˜
Ψ(t =0) = |Ψ(t =0))
| ˜
Ψ(t) = |Ψ(t =0) +
1
i
t
0
dt
′ ˜
W (t
′ )|Ψ(t =0)
(17.146)
Nous supposons que l’état de l’atome et celui du champ ne sont pas corrélés
à t =0
|Ψ(t =0) = |a ⊗ ψ i
(17.147)
où |ψ i est l’état du champ électromagnétique. Soit |b ⊗ ψ f , un état final
possible, orthogonal à |Ψ(t =0). Au premier ordre, l’amplitude de transition
vers cet état est d’après (17.146)
b ⊗ ψ f | ˜
Ψ(t) =
1
i
t
0
dt
′ e
iω ba t
′ D ba ψ f |E( r, t
′ )|ψ i
(17.148)
En utilisant le même raisonnement que dans le § 17.2.3, nous observons que
l’approximation séculaire conduit à conserver uniquement la partie à fréquences positives de E, ce qui permet de récrire (17.148)
b ⊗ ψ f | ˜
Ψ(t) =
1
i
t
0
dt
′ e
iω ba t
′ D ba ψ f |E
(+) ( r, t
′ )|ψ i
(17.149)
Le module carré de l’amplitude de transition (17.149) donne la probabilité
pour que l’atome soit au temps t dans l’état |b et le champ dans l’état |ψ f .
Toutefois, nous observons uniquement l’état de l’atome, pas celui du champ, et
il nous faut sommer sur tous les états finaux possibles du champ. Pour ce faire,
nous nous concentrons pour l’instant sur la partie de l’amplitude de transition
22. Cette terminologie a l’origine suivante : un état d’énergie E évolue comme
exp(−iEt/)=e x p ( −iωt). En fait, ce signe moins est une convention, mais il est choisi
une fois pour toutes.
23. Nous utilisons a et b plutôt que i et f , car cette notation sera réservée aux états du
champ. La notation (a, b) sera reconduite dans la section suivante.
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avec E k =
ω k /2ε 0 V. Les termes E
(+) (t) et E
(−) (t),( [E
(+) (t)]
† = E
(−) (t)),
proportionnels respectivement à a k exp(−iω k t) et à a
†
k
exp(+iω k t),s o n t
appelés composantes de fréquence positive et de fréquence négative
22 de E.
Nous appelons |a et |b les deux niveaux atomiques
23 d’énergie E a et E b ,o ù
|a est un état lié et |b un état du continuum, ω ba =( E b − E a )/ et ˜
D ba (t)
l’élément de matrice du dipôle donné dans le point de vue de l’interaction par
˜
D ba (t)=b| ˜
D(t)|a = e
iω ba t D ba
(17.145)
Au premier ordre de la théorie des perturbations, le vecteur d’état
atome+champ est donné par (| ˜
Ψ(t =0) = |Ψ(t =0))
| ˜
Ψ(t) = |Ψ(t =0) +
1
i
t
0
dt
′ ˜
W (t
′ )|Ψ(t =0)
(17.146)
Nous supposons que l’état de l’atome et celui du champ ne sont pas corrélés
à t =0
|Ψ(t =0) = |a ⊗ ψ i
(17.147)
où |ψ i est l’état du champ électromagnétique. Soit |b ⊗ ψ f , un état final
possible, orthogonal à |Ψ(t =0). Au premier ordre, l’amplitude de transition
vers cet état est d’après (17.146)
b ⊗ ψ f | ˜
Ψ(t) =
1
i
t
0
dt
′ e
iω ba t
′ D ba ψ f |E( r, t
′ )|ψ i
(17.148)
En utilisant le même raisonnement que dans le § 17.2.3, nous observons que
l’approximation séculaire conduit à conserver uniquement la partie à fréquences positives de E, ce qui permet de récrire (17.148)
b ⊗ ψ f | ˜
Ψ(t) =
1
i
t
0
dt
′ e
iω ba t
′ D ba ψ f |E
(+) ( r, t
′ )|ψ i
(17.149)
Le module carré de l’amplitude de transition (17.149) donne la probabilité
pour que l’atome soit au temps t dans l’état |b et le champ dans l’état |ψ f .
Toutefois, nous observons uniquement l’état de l’atome, pas celui du champ, et
il nous faut sommer sur tous les états finaux possibles du champ. Pour ce faire,
nous nous concentrons pour l’instant sur la partie de l’amplitude de transition
22. Cette terminologie a l’origine suivante : un état d’énergie E évolue comme
exp(−iEt/)=e x p ( −iωt). En fait, ce signe moins est une convention, mais il est choisi
une fois pour toutes.
23. Nous utilisons a et b plutôt que i et f , car cette notation sera réservée aux états du
champ. La notation (a, b) sera reconduite dans la section suivante.