17. Champ électromagnétique quantifié
741
L’élément de matrice f | ˆ
r
∗
q |i se calcule aisément en remarquant que, d’après
(9.64), ˆ
r q est proportionnel à l’harmonique sphérique Y
q
1 (ˆ r) ;s il en o m b r e
quantique magnétique de l’état initial est m
f |ˆ r
∗
q |i, m =
4π
3
d
2 ˆ
r [Y
q
1 (ˆ r)]
∗ Y
m
1 (ˆ r)=
4π
3
δ qm
en utilisant les relations d’orthogonalité (9.55) des harmoniques sphériques,
d’où
s
e
∗
s ( ˆ
k) ·f | ˆ
r |i
2
=
4π
3
(1 −| ˆ
k m |
2 )
Le facteur (1 −| ˆ
k m |
2 ) vaut (1 −
1
2 sin
2 θ) pour m = ±1 et (1 − cos
2 θ) pour
m =0, ce qui donne la distribution angulaire du photon émis si l’état initial a
une valeur de m bien déterminée. Si l’état initial est non polarisé, on vérifie que
la distribution angulaire est bien sûr isotrope, puisqu’il n’y a pas de direction
privilégiée
1
3
2
1 −
1
2
sin
2 θ
+(1− cos
2 θ)
=
2
3
Pour obtenir la probabilité totale de transition (17.131), on intègre sur Ω et
le résultat est le même dans les trois cas m = ±1, 0
dΩ
1 −
1
2
sin
2 θ
=
dΩ(1− cos
2 θ)=
8π
3
La partie angulaire donne donc en tout un facteur 32π
2 /9. La partie radiale
de l’élément de matrice vaut d’après (15.31) et (17.133)
f |r|i =
1
a 4
0
√
4!π
∞
0
r
4 dr exp
−
3r
2a 0
=
4!
π
2
3
5
a 0
La combinaison des résultats précédents donne la probabilité de transition
Γ(2p → 1s)
Γ(2p → 1s)=
αω
3
0
2πc 2
4!
π
4
9
5
a
2
0
32π
2
9
(17.134)
et compte tenu de
ω =
3
4
R ∞
=
3
8
α
2 m e c
2
et de a 0 =
2
m e e 2 =
αmc
on peut mettre le résultat sous la forme finale, en rappelant (cf. § 1.5.3) que
/(m e c
2 )=1.29 × 10
−21 s
Γ(2p → 1s)=α
5
m e c
2
4
9
4
≃ 6.2 × 10
8 s
−1
τ =
1
Γ
≃ 1.6 × 10
−9 s
(17.135)
741
L’élément de matrice f | ˆ
r
∗
q |i se calcule aisément en remarquant que, d’après
(9.64), ˆ
r q est proportionnel à l’harmonique sphérique Y
q
1 (ˆ r) ;s il en o m b r e
quantique magnétique de l’état initial est m
f |ˆ r
∗
q |i, m =
4π
3
d
2 ˆ
r [Y
q
1 (ˆ r)]
∗ Y
m
1 (ˆ r)=
4π
3
δ qm
en utilisant les relations d’orthogonalité (9.55) des harmoniques sphériques,
d’où
s
e
∗
s ( ˆ
k) ·f | ˆ
r |i
2
=
4π
3
(1 −| ˆ
k m |
2 )
Le facteur (1 −| ˆ
k m |
2 ) vaut (1 −
1
2 sin
2 θ) pour m = ±1 et (1 − cos
2 θ) pour
m =0, ce qui donne la distribution angulaire du photon émis si l’état initial a
une valeur de m bien déterminée. Si l’état initial est non polarisé, on vérifie que
la distribution angulaire est bien sûr isotrope, puisqu’il n’y a pas de direction
privilégiée
1
3
2
1 −
1
2
sin
2 θ
+(1− cos
2 θ)
=
2
3
Pour obtenir la probabilité totale de transition (17.131), on intègre sur Ω et
le résultat est le même dans les trois cas m = ±1, 0
dΩ
1 −
1
2
sin
2 θ
=
dΩ(1− cos
2 θ)=
8π
3
La partie angulaire donne donc en tout un facteur 32π
2 /9. La partie radiale
de l’élément de matrice vaut d’après (15.31) et (17.133)
f |r|i =
1
a 4
0
√
4!π
∞
0
r
4 dr exp
−
3r
2a 0
=
4!
π
2
3
5
a 0
La combinaison des résultats précédents donne la probabilité de transition
Γ(2p → 1s)
Γ(2p → 1s)=
αω
3
0
2πc 2
4!
π
4
9
5
a
2
0
32π
2
9
(17.134)
et compte tenu de
ω =
3
4
R ∞
=
3
8
α
2 m e c
2
et de a 0 =
2
m e e 2 =
αmc
on peut mettre le résultat sous la forme finale, en rappelant (cf. § 1.5.3) que
/(m e c
2 )=1.29 × 10
−21 s
Γ(2p → 1s)=α
5
m e c
2
4
9
4
≃ 6.2 × 10
8 s
−1
τ =
1
Γ
≃ 1.6 × 10
−9 s
(17.135)